Производная сложной функции. Пусть функции дифференцируемы в точке (u0,v0)

Пусть функции дифференцируемы в точке (u₀,v₀)

Функция z(x,y) дифференцируема в точке (x₀,y₀), где x₀=x(u₀,v₀), y₀=y(u₀,v₀)

Тогда функция z=z(x(u,v), y(u,v)) имеет частные производные , в точке (u₀,v₀) при этом

Если x и y функции одного аргумента

То функция z(x(t), y(t)) также является функциями одного аргумента и можно говорить о полной производной.

Пусть функция z(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) и имеет частные производные

и

Пусть через точку (x₀,y₀) проходит ось образующая угол с осью X, и угол с осью Y. Тогда производной по направлению будет

Производная по направлению равна скорости изменения функции в точке (x₀,y₀) в направлении вектора .

Если эта производная > 0, то функция z в точке (x₀,y₀) возрастает в данном направлении, иначе убывает.

Очевидно, что можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов:

Градиент – это есть вектор

Вектор с координатами орт (, ).

- направляющие косинусы вектора.

принимает наибольшее значение, когда ,т.е. когда , следовательно, градиент направлен в сторону наибольшего роста функции в данной точке, при этом