Локальные и глобальные свойства непрерывных функций

1) Если функция f(x) непрерывна в точке x₀, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки

2) Если f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀ и непрерывна в точке x ₀ и f (x ₀)>0, то $ такая окрестность U(x ₀) точки x ₀: f (x) > 0

3)Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ], выполняется f (a)* f (b) < 0

тогда $сÎ[ a, b ] f (c)=0

4)Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f (x) непрерывна на [a;b], f (a) = А, f (b) = B, C – между А и В, тогда $сÎ[ a, b ]: f (с) = C

5)Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [ a, b ], то она ограничена на нем.

6)Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [ a, b ], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

7) Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x ^a, a^x, log_a x, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

Сумма , произведение , частное , суперпозиция есть функция непрерывная.

8)

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Функция y = f (x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если "e > 0 $d > 0: " x ₁, x ₂ Î M из | x ₁ – x ₂|< δ => |f(x ₁)-f(x ₂)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т. x ₁. В случае равномерной непрерывности для заданного ε $δ, обслуживающее все множество М.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [ a, b ], то она равномерно непрерывна на [ a, b ].