Вопрос 11

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ДУ). Метод Лагранжа. Построение частного решения неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами при специальной правой части.

1. Структура общего решения линейного неоднородного ДУ (ЛНДУ).

Ly=f (1)

Полезными являются следующие свойства решений:

Теорема 1: Если у₀ – решение однородного,

у_* - решение неоднородного, то

у₀ + у_* - решение неоднородного.

Док-во: L(y₀ + y_*) = Ly₀ + Ly_* = 0 + f = f. ч.т.д.

Теорема 2: Если у_i – решение уравнения Ly = f_i (), то

- решение уравнения вида .

Док-во: . ч.т.д.

Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 3: (о структуре общего решения ЛНДУ)

Справедлива следующая формула:

у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. (2)

где у_о.н. – общее решение неоднородного;

у_о.о. - общее решение однородного;

у_ч.н. - частное решение неоднородного.

Док-во: Исследуем (1). Замена:

у = у_ч.н. + z, z =?.

~ L(y_н.ч. + z)= f ~ Ly_ч.н. + Lz = f ~ f+Lz = f ~ Lz=0 ~ z=y_о.о.

Тогда:

у = у_о.о. + у_ч.н. ~ y_о.н. = у_о.о. + у_ч.н.

ч.т.д.

1. Метод Лагранжа (Метод вариации произвольных постоянных(МВПП)).

Замечание: В рамках этого метода предлагается условие, которое упрощает дальнейшие рассуждения. Для понимания смысла такого условия достаточно рассмотреть лишь уравнение 2-го порядка.

(1)

где - известные функции

y = g(x) - искомая функция.

1) Предварительно решается соответствующее однородное уравнение: (2)

Пусть (3) - общее решение, причем {z₁+z₂} – ФСР уравнения (2).

~ и:

2) Согласно методу вариации произвольных постоянных (Лагранжа), решение уравнения (1) отыскивается в виде (3), в котором и - новые неизвестные функции.

(4)

и

Следовательно нужно иметь 2 условия:

1-ое условие: (5)

Идея метода: Во избежание 2-х производных и налагаем доп-ные условия:

2-ое условие: (6)

подставляем в (1):

(7)

Относительно неизвестных и получим СЛАУ 2-го порядка:

(8)

Причем

По теореме Крамера сущ-ет единственное решение:

Тогда:

, следовательно по (4) находим общее решение ур-я (1).

1. Построение частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами при специальной правой части.

Зам:

В силу доказанного, т.е. y_о.н. = у_о.о. + у_*, основной задачей является построение

При специальной правой части достаточно просто строится методом неопределенных коэффициентов (МНК).

Под специальной правой частью будем понимать:

где

Pr, Ps – известные полиномы.

1) Решается характеристическое уравнение

2) - проверяется на корень.

~ k – кратность корня

Вводится:

Тогда (9)

где - полиномы степени m с неопределенными коэффициентами.

Неопределенные коэффициенты находим путем подстановки в формулу (9) данное неоднородное уравнение (1). При этом относительно них получается квадратная система линейных уравнений (как правило не полная система), которая имеет единственное решение.