Размерность ВП

ВП V называется n -мерным, если в этом пространстве $ хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n +1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример

Система линейно независима, если выполняется только когда все a,b,…,g=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {e_i} с координатами (x₁,…,x_n), которые определены только в данном базисе.

"xÎV, $! разложение, т.е. координата x_i относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1) (x, y) = (y, x) (коммутативность)

2) (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y) (дистрибутивность)

3) (lx, y)=l(x, y)

4) (х, х) = х² >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1° – неравенство Коши-Буняковского.

Пример.

1) V₃- ВП всех геометрических векторов с обычным скалярным произведением . В силу доказанных свойств скалярного умножения, 1-4 имеют место. => данное ВП явл. вещ. ЕП

2) Rⁿ со скалярным произведением . 1-4 выполняется => Rⁿ с указанным произведением является ЕП

Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие по некоторому закону вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел x ₁, x ₂,…, x_n,.. = { x_n } называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значения.

Если даны 2 последовательности { x_n } и { y_n }, то последовательность { x_n + y_n } называется их суммой, { x_n * y_n } – произведением, { x_n / y_n } для " y_n ¹ 0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при если " e>0 $ такой номер N ₀>0: " n > N ₀:

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A = ±¥ или lim не $) последовательность называется расходящейся.

Точка x ₀ называется предельной точкой множества M, если в " окрестности x ₀ содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример. 1, 1-1/2, -1, 2, 1, 1-1/4, -2, 3, 1-1/8, -3, … n, 1-1/2n, -n, … Последовательность имеет 3 предельные точки +¥; 1; -¥ – неконечный, – неконечный. Последовательность расходящаяся. Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число). Пример. {2-1/n,3+1/(2n)} нижний предел=2, верхний предел =3

Последовательность называется ограниченной, если $ M >0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример. -1, 1, -1, 1, …, (-1) n – ограничена, т.к. Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность { x_n } называется бесконечно малой.

Если – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая: бесконечно большая Þ неограниченная Неограниченный: для " M > 0 $ n 0Î N: | xn | ³ M Бесконечно большая: для "e>0 $ N 0: для всех n > N 0: | xn | > e n = N 0+1 | xn | > e º M Þ $n бесконечно большая Þ неограниченная. Обратное не верно:
	xn = n *sin n неограниченная не бесконечно большая

Последовательность называется фундаментальной, если для "e>0 $ N ₀: " n > N ₀ и "p=1,2,… | x_n+p-x_n |<e

Критерий Коши ( необ-е и дост-е усл-е ) Последовательность называется сходящейся тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.