Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона

Пусть функция у = f (x) определена на отрезке [ а, b ]. Разобьем сегмент [ а, b ] произвольным образом на n частей точками .

Обозначим через

На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму:

Обозначим . Если $ конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [ а, b ] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f (x), его обозначение , а функция f (x) называется интегрируемой на [ а, b ].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена (последовательность называется ограниченной, если $ M>0, что для ) на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f (x) не ограничена на [ а, b ], то $ по крайней мере одна точка с Î [ а, b ], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [ x_i; x_{i +1}] ' c Þ за счет выбора точки произведение можно сделать как угодно большими по модулю Þ может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы Þ неограниченная функция не является интегрируемой. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть – рац.

2) пусть – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.