Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть функция у = f (x) ограничена на отрезке [ а, b ] и Þ ограничена на каждом из сегментов [ xi; xi +1], тогда $ m i и Mi, где
ü – инфимум (точная нижняя грань: мн-во наз-ся ограниченным снизу, если (d-нижняя грань мн-ва А). Мн-во всех нижней граней обозначим ч/з D максим.из нижних граней наз-ся точной нижней гранью)
ü – супремум (точная верхняя грань: мн-во наз-ся ограниченным сверху, если сущ-ет (b-верхняя грань мн-ва А). Мн-во всех верхних граней обозначим ч/з А наим.из верхних граней наз-ся точной верхней гранью)
Верхняя сумма Дарбу: Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:
Нижняя сумма Дарбу:
Т(необх. и дост. условие интегрируемости функции на [ а, b ] ). Для того чтобы ограниченная на [ а, b ] функция у = f (x) была интегрируема на этом отрезке Û для " e > 0 $ такое разбиение отрезка [ а, b ], что S – s < e.
Достаточные условия интегрируемости:
1) Если функция f (x) непрерывна на [ а, b ], то она интегрируема на нем.
2) Если функция f (x) монотонна на [ а, b ], то она интегрируема на нем.
3) Если функция f (x) ограничена на [ а, b ] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [ а, b ].
Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)
Пусть на отрезке [ а, b ] задана непрерывная положительная функция у = f (x).
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f (x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми
Разобьем отрезок [ а, b ] произвольным образом на n частей точками и через каждую точку проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f (x).
Обозначим через
На каждом из сегментов выберем произвольные точки и на построим прямоугольник высотой , тогда
Составим интегральную сумму:
= площади ступенчатого тела.
Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f (x) непрерывна на [ а, b ], делят отрезок [ а, b ] на n равных частей и выбирают шаг вычислений . Пусть xi – точки деления, xi = a + ih, i = 0.. n.
Формула трапеций:
с абсолютной погрешностью
Для достижения заданной точности e шаг вычислений определяется из неравенства:
значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (b – a) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.
Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным. Берется [ x0; x 2] через три точки (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) проводят параболы и считают
с абсолютной погрешностью
Шаг вычислений определяется из неравенства:
h имеет порядок
Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (b – a) / h было целым четным числом.
ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M 2 и M 4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.
Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:
– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2 h.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 1136 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!