Фундаментальная система решения однородной системы

(2), АХ=0,

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все . Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства R_n:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k => достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения. ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2) Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр. r=2, k=4-2=2.Исходная система ~

1. x ₃=1, x ₄=0 => x ₁=0, x 2=1 => f ₁ = (0,1,1,0). 2. x ₃=0, x ₄=1 => x ₁=0, x ₂=-1 => f ₂ = (0,-1,0,1).

f ₁ и f ₂ независимы, т.к. det 0, существует минор II порядка отличный от 0. { f ₁, f ₂} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.