Удосконалена модель вилову: негативний зворотний зв’язок

Як досягти оптимального вилову за умови збереження популяції на певному сталому рівні? В першу чергу, не призначати жорсткого плану відлову, а вести його з використанням так званого негативного зворотного зв’язку. Замість абсолютної швидкості вилову с введемо відносну швидкість s – виловлювану за одиницю часу частку від
наявної чисельності популяції, її ще називають відносною квотою. В такому разі замість (8) має стати

Δ N = ((p – q·N) ·N – s·N) · Δ t, (12)

де вираз s∙N відіграє роль параметра c з попередньої версії, але тепер абсолютна квота с пропорційна N – фактично існуючим ресурсам.

Аналог рівняння (9) у цьому випадку буде мати вигляд:

N_і = N_{і- 1} + ((p – q N_{і- 1}) ·N_{і- 1} – s·N_{і- 1}) · Δ t (13)

Рівняння (12) і (3) або (13) є вдосконаленою математичною
моделлю відлову з відновленням чисельності.

Вправа. Доведіть, що нова модель, як і попередня, також передбачає наявність рівноважних станів за умови

s = p – q·N. (14)

Результат (14) дійсно нескладно отримати, прирівнюючи Δ N до нуля. Якщо ж міркування провести в інший спосіб – з використанням геометричних образів, – то можна отримати цікаві результати щодо геометричної інтерпретації безлічі рівноважних станів.

Дійсно, Δ N = 0 означає, що (p – q·N) ·N – s·N = 0.

Останнє рівняння можна замінити системою рівнянь

Перше з них – це рівняння параболи з попередньої версії, всі її точки відповідають безлічі рівноважних станів (рис. 4.9). Друге – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом s, яка проходить через початок координат. Будь-яка точка перетину цих графіків відповідає
одному з рівноважних станів у новій версії моделі (рис. 4.18).

Рис. 4.18

Інтервал значень кутового коефіцієнта s визначимо з (14):

smax відповідає Nmіn= 0 smіn відповідає Nmax=N гр =p/q

Þ smax = р Þ smіn = 0

тобто

0 ≤ s ≤ p. (15)

У математичній екології ця остання модель має спеціальну назву – модель вилову з негативним зворотним зв’язком.

Завдання. Побудуйте діаграму, зображену на рис. 4.17.