Обчислювальний експеримент. 1. Вважатимемо, для визначеності, що за ознакою балакучості мешканці населеного пункту розподіляються так: доля мовчунів М складає 0,75 (75%)

1. Вважатимемо, для визначеності, що за ознакою балакучості мешканці населеного пункту розподіляються так: доля мовчунів М складає 0,75 (75%), доля балакунів – 0,1 (10%), доля звичайних людей Z = 1 – М – В. Параметри передавання k_б = 3, k_зв = 2. Серед мешканців з’являється N ₀ = 1 знавець слуху. Скільки людей дізнаються про слух після n = 22 сеансів передавання?

2. Уводимо дані й отримуємо таблицю (рис. 3.4).

	A	B	C	D	E
	j	D N	N	Дано:
				M =	0,75
				B =	0,1
				kб =
				kзв =
				N 0 =
...	...	...	...

Рис. 3.4

2.1. Чи утворює послідовність значень змінної N_j геометричну прогресію? Чому?

Якщо ваша відповідь негативна, то ви помиляєтесь. В оману вас увела саме постановка цього питання стосовно послідовності
такого незвичного виду. По-перше, не слід забувати, що дійсні числа в комірках таблиці нами представлені у форматі цілих лише візуально, проте в пам’яті вони зберігаються у форматі дійсних. По-друге,
погляньте на вираз (5*): з нього видно, що кожний наступний елемент послідовності N_j дорівнює попередньому N_{j- 1}, помноженому на постійне число q = 1 + k_б·B + k_зв·Z.

Тому послідовність N_j – геометрична прогресія, а число q – її знаменник.

2.2. Напишіть формулу довільного елементу утвореної послідо­вності у вигляді a_n = a ₁ ·q_{n- 1}. Для цього за нашими даними знайдіть конкретні значення N ₁ (замість а ₁), q і п.

2.3. Який вигляд тепер набуває вираз для N_j?

2.4. Створіть в таблиці після стовпця значень N новий стовпець, в якому обчислюватимуться значення N_j згідно з виразом за
п. 2.2: N_j = N ₁ · (1+ k_б·B + k_зв·Z) ^{j- 1}.

Із цією метою до комірок D2 і D3 уведіть наступні вирази:

комірки	формули
D2	= $F$6
D3	= $C$3*(1+$F$3*$F$4+$F$5*(1-$F$2-$F$3))^(A3-1)

2.5. Порівняйте значення N_j у стовпцях C і D, зробіть висновки.

2.6. Переконатися в тому, що послідовність N_j є геометричною прогресією, можна й інакше – виходячи з визначення такої послі­довності, а саме: відношення N_j / N_{j – 1} мають бути сталими.

Видаліть зі стовпця D попередні значення і в комірці D3 створіть відповідну формулу (=С3/С2), яку скопіюйте в інші комірки стовпця D. Як слід пояснити той факт, що значення в усіх комірках стовпця D виявляються однаковими?

Тепер стовпець D видаліть з таблиці.

3. З’ясуйте, як впливає на виведені значення N_j зміна параметрів М і В. З цією метою порівняєте результати при початкових даних з результатами при

3.1. М = 0,75 і В = 0,05;

3.2. М = 0,8 і В = 0,1.

Поясніть причини спостережуваних змін.

4. Поверніть параметрам М і В їх початкові значення. Залишаючи їх незмінними, спробуйте одночасно підібрати для параметрів
передавання k_зв і k_б такі нові значення, щоб у стовпці C залишилися попередні результати.

Коли вам набридне це заняття, введіть k_зв = 1 і k_б = 4,5 (k_б = 4,5 можна інтерпретувати так: кожен балакун за два сеанси передавання знаходить 9 слухачів).

4.1. Звідки взялися ці числа 1 і 4,5? Чи існують інші такі пари? Скільки їх може бути? Інакше кажучи, чи існує зв’язок між параметрами передавання k_зв і k_б при виконанні умови п. 4?

4.2. На всі ці питання можна дати надійні відповіді, якщо знову звернутися до виразу (5*), який було переписано у вигляді

N_j = N_{j- 1} ·q,

де q = 1+ B · k_б + k_зв·Z.

4.3. Ясно, що ті самі значення N_j будуть з’являтись усякий раз, коли будуть забезпечені однакові значення для q: q ₁ = q ₂, тобто

B·k_{б 1} + k_{зв 1} ·Z = B·k_{б 2} + k_{зв 2} ·Z.

Це рівняння одночасно містить обидві невідомі k_{б 2}и k_{зв 2}. Розв’язуючи його, наприклад, відносно k_{б 2}, маємо

.

Беручи далі згідно умови М = 0,75; В = 0,1; k_{зв 1} = 2; k_{б 1} = 3, отримуємо

,

або остаточно

k_{б 2} = 6 – 1,5· k_{зв 2}.

Тепер можна надавати певних значень k_{зв 2}й отримувати відповідні значення для k_{б 2}. Необхідно лише контролювати себе очевидними обмеженнями k_{б 2}>0, k_{зв 2}>0, k_{б 2}> k_{зв 2}.

Вправа

1. Дайте відповідь на питання з п. 4.1.

2. Як і в п. 3 обчислювального експерименту попередньої версії моделі, створіть обмеження кількості знавців N_j так, щоб вона знову не перевищувала загальну чисельність S мешканців населеного пункту і порівняйте нову таблицю з таблицею попередньої версії.

3. За яких умов дана версія моделі може бути зведена до попередньої?