Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f (x) определена на промежутке X и x ₀ Î X.

Говорят, что в точке x ₀ функция f (x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x ₀, что для любого x из этой окрестности f (x) < f (x ₀).

Точка x ₀ называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x ₀, что для любого x из этой окрестности f (x) > f (x ₀).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

Если функция f (x) дифференцируема в точке x ₀ и некоторой ее окрестности и
x ₀ – точка экстремума, то (x ₀) = 0.

Рис. 2.11

y

x

Доказательство. Пусть для определенности x ₀ – точка максимума, тогда найдется окрестность (x ₀ – d, x ₀ + d) точки x ₀ такая что, для любого x Î(x ₀ – d, x ₀ + d)
f (x) < f (x ₀), т.е. f (x ₀) – наибольшее значение функции f (x) на интервале (x ₀ – d, x ₀ + d). Тогда по теореме Ферма (разд. 2.9) (x ₀) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Если x ₀ – точка экстремума, то (x ₀) = 0 или (x ₀) не существует.

В качестве примера приведем функцию f (x) = | x | (рис. 2.11).

Очевидно, что x ₀ = 0 является точкой минимума, так как |0| < | x | для любого x ¹ 0. А в точке x ₀ = 0 производной f' (0) не существует.

Если f' (x ₀) = 0 или f' (x ₀) не существует, то точку x ₀ будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x ₀, и x ₀ – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x ₀) = 0 или (x ₀) не существует). Тогда: 1) если при x < x ₀ производная (x) > 0, а для x > x ₀: (x) < 0, то x ₀ – точка максимума; 2) если при x < x ₀: (x) < 0, а при x > x ₀: (x) > 0, то x ₀ – точка минимума.

Доказательство. Пусть для x < x ₀: (x) > 0, а для x > x ₀: (x) < 0, т.е. при переходе через точку x ₀ слева направо производная меняет знак с + на –. Тогда слева от x ₀ функция f (x) возрастает, а справа от x ₀ функция f (x) убывает, следовательно, x ₀ – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x ₀ и некоторой ее окрестности и пусть (x ₀) = 0. Если (x ₀) > 0, то x ₀ – точка минимума. Если (x ₀) < 0, то x ₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть (x ₀) = 0 и (x ₀) > 0. Покажем, что x ₀ – точка минимума:

f'' (x ₀) = = > 0.

Тогда в некоторой окрестности точки x ₀ выполняется неравенство
> 0. Отсюда, если Dx < 0, то (x ₀ + Dx) < 0, а если Dx > 0, то (x ₀ + Dx) > 0, т.е. слева от точки x ₀ функция f (x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что
x ₀ – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для (x ₀) < 0.

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f (x) = x ² e ^{– x} . Построить ее график.

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–¥, ¥). Найдем производную: (x) = 2 xe^–x – x ² e^–x = xe^–x (2 – x). Тогда (x) = 0 при x ₁ = 0 и
x ₂ = 2, где x 1, x ₂ – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–¥; 0), (0; 2), (2; +¥). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f (x):

x		x 1 = 0	(0, 2)	x 2 = 0
(x)	(x) < 0		(x) > 0		(x) < 0
f (x)	убывает		возрастает		убывает

Определим знак (x) на каждом из интервалов: если x Î(–¥, 0), то (x) < 0; если x Î(0, 2), то (x)>0; если x Î(2, +¥), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f (x): на первом и последнем интервалах f (x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x ₁ = 0 является точкой минимума, y _мин(0) = 0, а x ₂ = 2 – точка максимума, y _макс(2) = » 0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и

Рис. 2.12

y

x

–1

x ² e^–x = 0,

x ² e^–x = ¥, f (–1) = e» 2,7.

График этой функции изображен на рис. 2.12.

28. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

Определение. Точка M0 (x0, f (x0)), отделяющая вогнутую часть от выпуклой, называется точкой перегиба графика функции f (х).

Касательная в точке перегиба пересекает график (переходит с одной стороны кривой на другую). Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится с помощью второй производной.

Теорема. Если функция у = f (х) дважды дифференцируема на некотором промежутке, причём f // (x) < 0 для любого х из этого промежутка, то на этом промежутке график функции выпуклый; если f // (x) > 0, то график вогнутый.

Из теоремы следует, что для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости кривой надо найти вторую производную функции и определить промежутки, где она положительна или отрицательна.

Необходимым условием существования точки перегиба является обращение в ноль второй производной или её отсутствие в точке x0, то есть условие f // (x0) = 0 или f // (x0) =. В случае выполнения одного из этих условий точка x0 называется критической точкой второго рода.

Достаточным условием того, чтобы точка M0 (x0, f (x0)) была точкой перегиба, является смена знака второй производной при переходе через критическую точку второго рода.

30. Дифференциа́л -линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции обозначается . Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.