Сходящиеся последовательности и их свойства

Определение. Последовательность { xn } называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность { xn − a } является бесконечно малой.

Если последовательность { xn → a } является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так: lim(n →∞) xn = a или xn → a при n →∞

Определение. Последовательность { xn } называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N (ε) такой, что при всех n > N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣ xn − a ∣<ε
При этом число a называется пределом последовательности.

Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε< xn − a <+ε или, a −ε< xn < a +ε. (5')

Определение. Последовательность { xn } называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой ε-окрестности точки a находятся все элементы последовательности { xn } начиная с некоторого номера (зависящего от ε).

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности { xn }. xn = a + an и xn = b + bn, где { an } и { bn } - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an − bn = b − a. Последовательность { an − bn } является бесконечно малой, а в силу равенства an − bn = b − a все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числу b − a. Число b − a равно нулю, т. е. b = a. Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть { xn } - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣ xn − a ∣<ε при n ≥ N или, a −ε< xn < a +ε при n ≥ N. Обозначим через A наибольшее из следующих (N +1) чисел: ∣ a −ε∣,∣ a +ε∣,∣ ∣ x 1∣ ∣,∣ ∣ x 2∣ ∣,...,∣ ∣ х N −1∣ ∣. Тогда, очевидно, ∣ xn ∣≤ A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности{ xn }. Теорема доказана.

Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1,... является
ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим n -й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей { xn +1− a } и { xn − a } являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей { xn +1− xn } а этого быть не может в силу того, что ∣ ∣ xn +1− xn ∣ ∣ =1 для всех номеров n.

Последовательность { an } называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N (ε) такой, что при всех n > N элемент an последовательности удовлетворяет неравенству ∣ an ∣<ε.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей { xn } и { yn } представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей { xn } и { yn }.

Доказательство. Предположим, что последовательности { xn } и { yn } сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn = a + an будут справедливы соотношения
xn = a + an, yn = b + bn, (6),
в которых an и bn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей { an }и { bn }. Из (6) вытекает, что(xn + yn)−(a − b)= an + bn. (7)

Т.к. сумма { an + bn } двух бесконечно малых последовательностей { an } и { bn } представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность { xn + yn } сходится и вещественное число a + b является ее пределом. Теорема доказана.

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей { xn } и { yn } представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей { xn } и { yn }

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3, только вместо соотношения (7) мы получим соотношение (xn − yn)−(a − b)= an − bn.

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей { xn } и { yn } представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей { xn } и { yn }.

Доказательство. Предположим, что последовательности { xn } и { yn }сходятся к пределам a и b соответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим
xn · yn = a · b + abn + ban + an · bn или, xnyn − a · b = abn + ban + an · bn (8)

Лемма 1. Если последовательность { yn } сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1 yn } последовательностей {\{}1{\}} и { yn }, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей { xn } и { yn }, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей { xn } и { yn }.

Доказательство. Предположим, что последовательности { xn } и { yn } сходятся к пределам a и b соответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n > N элементы yn нe обращаются в нуль, определена последовательность {1 yn } и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем
рассматривать частное { ynxn }. В силу определения достаточно доказать, что последовательность { ynxn − ba } является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn − ba = yn · bxn · b − yn · a (9)

Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то

n · b − yn · a =(a + an)· bn −(b + bn)· an = anb − bna

Подставляя (10) в (9), получим ynxn − ba =1 yn (an − babn) (11)

Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1 yn } (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность { an − babn } (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.