Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций

3. Производная произведения

4. Производная дроби (производная частного)

5. Производная сложной функции

21. Непрерывность функции на отрезке

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функций, непрерывных на отрезке [a, b] обозначается символом C[a, b].

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом maxx О [a, b] f(x), а наименьшее значение m — символом minx О [a, b] f(x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).