Табличные производные с доказательством

Начнём с функции, которая является константой: f(x) = c. Приращение этой функции равно

нулю:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = c - c = 0:

Соответственно, обращается в нуль и производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) 0/Δx= lim(Δx->0) 0= 0

Итак, имеем первый результат — производная константы равна нулю:

c’= 0;

Теперь будем дифференцировать степенную функцию, то есть функцию вида f(x) = x^a.

Найдём производную самой простой такой функции f(x) = x. Приращение функции:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = x + Δx - x = Δx:

Производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) Δx /Δx= lim(Δx->0) 1= 1

Итак,

x‘= 1:

Перейдём к функции f(x) = x². Это абстрактный аналог рассмотренной выше физической

ситуации с s(t) = t², в которой мы искали мгновенную скорость. Нам остаётся лишь повторить (в других обозначениях) те вычисления, которые привели нас к формуле (10).

Приращение функции:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)²-x²= x²+ 2xΔx + Δx²- x² = Δx(2x + Δx):

Производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) Δx(2x + Δx) /Δx= lim(Δx->0) (2x + Δx)= 2x

Таким образом,

(x²)’ = 2x:

Проделаем то же самое с функцией f(x) = x³. Приращение функции:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)³-x³= x³+ 3x²Δx + 3xΔx²+ Δx³ -x³ = Δx (3x² + 3xΔx + Δx²).

Производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) Δx(3x² + 3xΔx + Δx²)/Δx= lim(Δx->0) (3x² + 3xΔx + Δx²)=3x²

Итак,

(x³)’=3x²

Точно так же можно показать, что:

(x⁴)’=4x³

(x⁵)’=5x⁴

(xⁿ)’=nx^n-1

Перейдём к тригонометрическим функциям. Вычислим производную функции f(x) = sin x.

Приращение функции:

Δf=sin(x+Δx)-sinx

Вспомним, как разность синусов превращается в произведение:

sin a- sin b =2sin(a-b /2)cos(a+b /2)

Получаем:

Δf=2sin(Δx/2)cos(x+ Δx/2),

f’(x)=lim(Δx->0) 2sin(Δx/2)cos(x+ Δx/2)/Δx

Перепишем выражение для производной немного иначе:

f’(x)=lim(Δx->0) (sin(Δx/2)/(Δx/2))*(cos(x+ Δx/2))

Под знаком предела стоит произведение двух выражений — дроби и косинуса. Оказывается, что каждое из этих выражений стремится к некоторому пределу.

Начнём с дроби. Сделаем замену t = Δx/2. Ясно, что t -> 0 при Δx->0. Имеем:

lim(Δx->0) (sin(Δx/2)/(Δx/2)) = f’(x)=lim(Δx->0) (sin(t))/t) = 1

Итак, дробь стремится к 1.

Выражение x + Δx/2, стоящее под знаком косинуса, при Δx->0 стремится к x.

Косинус — непрерывная функция (график косинуса вычерчивается без отрыва ручки от

бумаги). Поэтому, согласно определению непрерывной функции, для нахождения предела косинуса можно просто положить в аргументе косинуса Δx=0.

lim(Δx->0) cos(x + Δx/2)=cos(x)

Тогда получаем, что

f’(x)=1*cos(x)=cos(x)

Итак

(sin(x))’=cos(x)

(cos(x))’=-sin(x)

Это можно показать с помощью формулы разности косинусов:

cosA-cosB=-2sin((A-B)/2)*sin((A+B)/2)

23. Производные обратных тригонометрических
и гиперболических функций

Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1. Если x Î[–1, 1], y Î[– p/ 2, p /2], то функции y = arcsin x, x = sin y являются взаимно обратными, причем = (sin y) ' = cos y. Если – p /2 < y < p / 2 (при этом –1 < x < 1), то
cos y > 0, поэтому .

По теореме 5 (разд. 2.3) имеем: тогда

(–1 < x < 1).

2. Функции y = arccos x, x = cos y взаимно обратны, если x Î[–1, 1], y Î[0, p ],
= (cos y) ' = –sin y. Если 0 < y < p (при этом –1 < x < 1), то sin y > 0, поэтому

.

Так как то

(–1 < x < 1).

3. Функции y = arctg x, x = tg y взаимно обратны, если y Î(– p /2, p / 2), a x Î R. Используя равенство , получаем:

x Î R.

4. Для y Î (0, p) функции y = arсctg x, x = сtg y взаимно обратны,
= –(1 + ctg² y) = –(1 + x ²), поэтому

x Î R.

Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.

Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:

гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

гиперболический котангенс .

Для гиперболических функций справедливы тождества:

ch² x – sh² x =1. (Проверьте это!).

Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что
(e^–x) ' = e^–x ×(–1) = – e^–x (как производная сложной функции):

Итак, (sh x) ' = ch x.

Аналогично доказывается, что (ch x) ' = sh x.

Так как ch² x – sh² x =1, то получаем:

Аналогично можно показать, что

24. Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf (x 0+ x)− f (x 0)= tg , где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.