Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке

Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается: y'' или (x).

Итак, (x) = ( (x)) '.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной
(n – 1)-го порядка и обозначается: y ⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак, f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^{(n -1)}(x)) '.

Производные y'', y''',... называются производными высших порядков.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение. = = , (x) = – , (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n -го порядка для функции y = e ^{3 x} .

Решение. y' = 3 e ^{3 x}, y'' = 3× 3 e ^{3 x} = 3² e ^{3 x}, y''' = 3³ e ^{3 x}.

26. Теорема Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа ).

Пусть функции , дифференцируемы в окрестности точке x ₀, за исключением самой точки x ₀, причем , и пусть , . Если существует то существует и , причем

= .

Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Например, =1, а = – не существует, так как не существует.

Пример 6.3. Найти .