Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Кожна пряма в просторі однозначно задається будь-якими двома своїми різними точками. Якщо відомі координати цих точок , то в якості напрямного вектора прямої підходить ненульовий вектор . Знаючи його координати і координати точки на прямій, можна записати канонічне рівняння прямої. В результаті отримаємо

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки.

◄Приклад 11.3. Записати рівняння прямої, що проходить через точки і .

Розв’язання. .

Нуль в знаменнику другого дробу означає, що для координат всіх точок прямої виконано рівність у = 2. Тому пряма розташована у площині у -2=0, що паралельна координатній площині хОz і перетинає вісь ординат у точці з ординатою 2.►

◄Приклад 11.4. Знайти координати точки В, що симетрична точці

А (2; 3; -1) відносно прямої .

Розв’язання. В обчисленнях будемо спиратися на наступну геометричну побудову точки В: а) через точку А проводимо площину , що перпендикулярна прямій L; б) знаходимо точку М перетину прямої L і площини ; в) відрізок АМ продовжуємо до відрізка АВ так, щоб точка М опинилася в середині відрізка АВ (рис. 11.6).

Рис. 11.6. Побудова точки, що симетрична заданій точці відносно прямої

Оскільки площина перпендикулярна прямій L, то в якості нормального вектора площини можна вибрати напряний вектор прямої L: . З відомих координат нормального вектора площини і точки А, що належить їй, записуємо рівняння площини в загальному вигляді: .Щоб знайти координати точки М перетину прямої і площини за їх рівнянями, запишемо параметричне рівняння прямої L: .

Підставимо ці вирази для координат точки на прямій в рівняння площини, одержимо рівняння для параметра t:

розв’язок якого дає значення параметра для точки М. Знайдемо: t = -4 / 3 і підставимо його в параметричне рівняння прямої, отримаємо координати точки перетину прямої і площини:

.

Оскільки ця точка повинна ділити відрізок АВ навпіл, її координати рівні напівсумі відповідних координат точок А і В. Отже, позначивши через координати точки В, отримаємо рівності

.

Звідси: .►

Розглянемо способи переходу від загальних рівнянь до канонічних або параметричних.

Перший спосіб полягає в тому, що в системі для z призначають два різних значення та за формулами Крамера знаходять два різних розв’язки системи двох рівнянь з двома невідомими х і у. Ці два розв’язки дають координати двох різних точок і на прямій. А дві відомі точки на прямій дозволяють знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки, яке фактично збігається з канонічними рівняннями прямої.

Другий спосіб. В якості напрямного вектора прямої, що задана загальними рівняннями площин, можна вибрати - векторний добуток двох нормальних векторів площин (рис. 11.7).

Рис. 11.7

Дійсно, це векторний добуток є вектором, що ортогональний кожному нормальному вектору, а тому він паралельний як одній, так і іншій площині, тобто паралельний їх лінії перетину.

◄Приклад 11.5. Знайти канонічне рівняння прямої, що збігається з лінією перетину площин .

Розв’язання. Щоб знайти координати деякої точки на прямій, підставляємо в рівняння площин z = 0 і розв’яжемо відповідну систему

двох лінійних рівнянь щодо x і у: .

х = 1 і у = -1. Точка з координатами (1; -1; 0) розташована на прямій.
В якості напрямного вектора прямої беремо векторний добуток нормальних векторов площин і :

.

тобто напрямним вектором прямої буде . Знайдений вектор можна замінити колінеарним йому вектором .
Канонічне рівняння шуканої прямої:

.►

Третій спосіб переходу від загального рівняння прямої до її канонічного або параметричного рівняння полягає в наступному. Розв’язуємо систему за правилом Крамера щодо невідомих х та у, розглядаючи невідоме z як параметр:

Позначимо z через t і додамо рівняння z = t, отримаємо параметричні рівняння прямої: .