Пряма і площина у просторі

11.1. Алгебраїчні поверхні першого порядку

Рівняння першого порядку з трьома невідомими має вигляд , причому хоча б один з коефіцієнтів А, В, С повинен бути відмінний від нуля. Воно задає в просторі в прямокутній системі координат алгебраїчну поверхню першого порядку.
Властивості алгебраїчної поверхні першого порядку багато в чому аналогічні властивостям прямої на площині - геометричному образу рівняння першого порядку з двома невідомими.

Теорема 11.1. Будь-яка площина в просторі є поверхнею першого порядку і будь-яка поверхня першого порядку в просторі є площиною.
Доведення. Твердження теореми, та її доказ аналогічні теоремі 7.1. Дійсно, нехай площина задана своєю точкою і ненульовим вектором , що перпендикулярний їй. Тоді множина всіх точок у просторі розбивається на три підмножини. Перша складається з точок, що належать площині, а два інших - з точок, розташованих з одного та іншого боку від площини. Якій з цих підмножин належить довільна точка М простору, залежить від знака скалярного добутку . Якщо точка М належить площині (рис. 11.1, а), то кут між векторами і прямій, і тому їх скалярний добуток дорівнює нулю: .

Рис. 11.1.

Якщо точка М не належить площині, то кут між векторами і гострий або тупий, і тому або відповідно, причому знак цього скалярного добутку один і той самий для всіх точок, розташованих з однієї сторони від площини (рис. 11.1, б).
Позначимо координати точок , М і вектора через відповідно. Оскільки , то отримуємо умову належності точки М розглянутої площині у вигляді:

(11.1)

Розкриття дужок дає рівняння

,

де і хоча б один з коефіцієнтів А, В, або С відмінний від нуля. Це означає, що площина є геометричним образом рівняння , тобто алгебраїчною поверхнею першого порядку.

Проведемо доведення першого твердження теореми в зворотному порядку і покажемо, що геометричним образом рівняння , є площина. Виберемо три числа , що задовольняють цьому рівнянню. Обраним числам відповідає точка , що належить геометричному образу заданого рівняння. З рівності випливає, що . Підставляючи цей вираз в рівняння, отримуємо , що рівносильно (11.1). Рівність (11.1) можна розглядати як критерій ортогональності векторів і , де точка М має координати (х; у; z). Цей критерій виконується для точок площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору і не виконується для інших точок простору. Отже, рівняння (11.1) є рівнянням в зазначеній площині. ●

Рівняння називають загальним рівнянням площини. Коефіцієнти А, В, С ― це координати вектора , що перпендикулярний площині. Його називають нормальним вектором площини.
За умови відомих координат точки, що належить деякій площині, і ненульового вектора, перпендикулярного їй рівняння площини записується без будь-яких обчислень.

◄Приклад 11.1. Знайти загальне рівняння площини, що перпендикулярна радіус-вектору точки та проходить через точку .

Розв’язання. Оскільки ненульовий вектор

перпендикулярний шуканої площини, то її рівняння має вигляд

, або .►