![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
11.1. Алгебраїчні поверхні першого порядку
Рівняння першого порядку з трьома невідомими має вигляд , причому хоча б один з коефіцієнтів А, В, С повинен бути відмінний від нуля. Воно задає в просторі в прямокутній системі координат
алгебраїчну поверхню першого порядку.
Властивості алгебраїчної поверхні першого порядку багато в чому аналогічні властивостям прямої на площині - геометричному образу рівняння першого порядку з двома невідомими.
Теорема 11.1. Будь-яка площина в просторі є поверхнею першого порядку і будь-яка поверхня першого порядку в просторі є площиною.
Доведення. Твердження теореми, та її доказ аналогічні теоремі 7.1. Дійсно, нехай площина задана своєю точкою
і ненульовим вектором
, що перпендикулярний їй. Тоді множина всіх точок у просторі розбивається на три підмножини. Перша складається з точок, що належать площині, а два інших - з точок, розташованих з одного та іншого боку від площини. Якій з цих підмножин належить довільна точка М простору, залежить від знака скалярного добутку
. Якщо точка М належить площині (рис. 11.1, а), то кут між векторами
і
прямій, і тому їх скалярний добуток дорівнює нулю:
.
Рис. 11.1.
Якщо точка М не належить площині, то кут між векторами і
гострий або тупий, і тому
або
відповідно, причому знак цього скалярного добутку один і той самий для всіх точок, розташованих з однієї сторони від площини (рис. 11.1, б).
Позначимо координати точок , М і вектора
через
відповідно. Оскільки
, то отримуємо умову належності точки М розглянутої площині у вигляді:
(11.1)
Розкриття дужок дає рівняння
,
де і хоча б один з коефіцієнтів А, В, або С відмінний від нуля. Це означає, що площина є геометричним образом рівняння
, тобто алгебраїчною поверхнею першого порядку.
Проведемо доведення першого твердження теореми в зворотному порядку і покажемо, що геометричним образом рівняння
, є площина. Виберемо три числа
, що задовольняють цьому рівнянню. Обраним числам відповідає точка
, що належить геометричному образу заданого рівняння. З рівності
випливає, що
. Підставляючи цей вираз в рівняння, отримуємо
, що рівносильно (11.1). Рівність (11.1) можна розглядати як критерій ортогональності векторів
і
, де точка М має координати (х; у; z). Цей критерій виконується для точок площини, що проходить через точку
перпендикулярно вектору
і не виконується для інших точок простору. Отже, рівняння (11.1) є рівнянням в зазначеній площині. ●
Рівняння називають загальним рівнянням площини. Коефіцієнти А, В, С ― це координати вектора
, що перпендикулярний площині. Його називають нормальним вектором площини.
За умови відомих координат точки, що належить деякій площині, і ненульового вектора, перпендикулярного їй рівняння площини записується без будь-яких обчислень.
◄Приклад 11.1. Знайти загальне рівняння площини, що перпендикулярна радіус-вектору точки та проходить через точку
.
Розв’язання. Оскільки ненульовий вектор
перпендикулярний шуканої площини, то її рівняння має вигляд
, або
.►
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 889 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!