Векторне і параметричні рівняння площини

Нехай і - радіус-вектори точок та відповідно.
Тоді , і умову того, що точка належить площині, що проходить через точку перпендикулярно ненульовому вектору (рис. 11.2, а), можна записати за допомогою скалярного добутку у вигляді співвідношення: , (11.2)

яке називають векторним рівнянням площини.

а) б)

Рис. 11.2.

Фіксованій площині в просторі відповідає безліч паралельних їй векторів, тобто простір . Виберемо в цьому просторі базис , тобто пару неколінеарних векторів, паралельних даній площині, і точку на площині (рис. 11.2.б). Якщо точка належить площині, то це еквівалентно тому, що вектор паралельний цій площині, тобто він належить вказаному простору . Це означає, що існує розкладання вектора в базисі , тобто існують такі числа і , для яких . Запишемо ліву частину цього рівняння через радіус-вектори і точок та відповідно, отримаємо векторне параметричне рівняння площини

, . (11.3)

Перейдемо від рівності векторів до рівності їх координат. Позначимо через координати точок та і через координати векторів . Прирівнюючи однойменні координати векторів та , отримаємо параметричне рівняння площини

. (11.4)