Рівняння площини, що проходить через три точки та рівняння площини у відрізках

Припустимо, що три точки не лежать на одній прямій. Тоді існує єдина площина , до якою ці точки належать. Знайдемо рівняння цієї площини, сформулювавши критерій належності довільної точки даній площині . Потім запишемо цей критерій через координати точок. Зазначеним критерієм є описування площини , як геометричного місця тих точок М, для яких вектори компланарні. Критерієм компланарності трьох векторів є рівність нулю їх змішаного добутку. Змішаний добуток обчислюється за допомогою визначника третього порядку, рядками якого є координати векторів в ортонормова-ному базисі. Тому, якщо - координати точок , а ― координати точки , то , , і умова рівності нулю змішаного добутку цих векторів має вигляд

(11.5)

Обчисливши визначник, отримаємо лінійне щодо x, y, z рівняння, що є загальним рівнянням шуканої площини.

Наприклад, якщо розкласти визначник по 1-му рядку, то отримаємо

Ця рівність після розкриття дужок перетвориться до загального рівняння площини. Зазначимо, що коефіцієнти при змінних в останньому рівнянні збігаються з координатами векторного добутку . Цей векторний добуток дає ненульовий вектор, перпендикулярний до , тобто її нормальний вектор.

Розглянемо окремий випадок площини, що проходить через три точки. Точки , , не лежать на одній прямій і задають площину, яка відсікає на осях координат відрізки ненульової довжини (рис. 11.3). Тут під "довжинами відрізків" розуміють значення ненульових координат радіус-векторів точок , і = 1,2,3.

Рис. 11.3.

Оскільки , то рівняння (11.5) набуде вигляду:

Обчисливши визначник, знайдемо: ,

розділимо отримане рівняння на abc і перенесемо вільний член в праву частину: .

Це рівняння називають рівнянням площини у відрізках.

◄Приклад 11.2. Знайти загальне рівняння площини, яка проходить через точку з координатами (1; 1, 2) і відсікає від осей координат відрізки однакової довжини.
Розв’язання. Рівняння площини у відрізках за умови, що вона відсікає від осей координат відрізки рівної довжини, скажімо , має вигляд:

.

Цьому рівнянню повинні задовольняти координати (1; 1, 2) відомої точки на площині, тобто виконується рівність . Тому і шукане рівняння: .►