Нормальне рівняння площини

Розглянемо деяку площину в просторі. Зафіксуємо для неї одиничний нормальний вектор , напрямлений з початку координат "в бік площини ", і позначимо через відстань від початку О системи координат до площини (рис. 8.4). Якщо площина проходить через початок системи координат, то , а в якості напрямку для нормального вектора можна вибрати будь-яке з двох можливих. Якщо точка М належить площині , то це еквівалентно тому, що ортогональна проекція вектора на напрямок вектора дорівнює , тобто виконана умова , оскільки довжина вектора дорівнює одиниці. Позначимо координати точки М через (x; у; z) і нехай .

Рис. 11.4. Нормальне рівняння площини.

Скалярний добуток у рівності в координатній формі задає нормальне рівняння площини:

.

Загальне рівняння площини в просторі можна перетворити в її нормальне рівняння діленням на нормуючий множник.
Для рівняння площини Ах +By +Cz +D = 0 нормуючим множником є число , знак якого вибирається протилежним знаку D. За абсолютною величиною нормуючий множник є довжиною нормального вектора площини, а знак відповідає потрібному напрямку одиничного нормального вектора площини. Якщо площина проходить через початок системи координат, тобто D = 0, то знак нормуючого множника можна вибрати будь-яким.