Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е

к _СD = .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁; у₁) в заданном направлении, имеет вид:

(4)

Подставив в (4) координаты точки С(10;6) и к _СD = , получим уравнение высоты СD:

у – 6 = (х – 10), 4 у – 24 = 3 х – 30, 3 х – 4 у – 6 = 0 (СD). (5)

Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

, откуда х = 2, у = 0, то есть D (2; 0)

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

СD = .

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точка Е() имеет вид:

(6)

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка СD. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, Е(6; 3) и R= = 5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В .

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

> 0

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4 х +3 у .

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

(ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:

< 0. Искомое неравенство будет 2 х – у – 14 . Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: < 0. Третье искомое неравенство будет х +7 у –52 . Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е и диаметром CD

.

Рис. 1