Аналитическая геометрия

Прямую линию на плоскости можно задать следующими уравнениями:

1.

Уравнение прямой, проходящей через точку (х₀;у₀ ) перпендикулярно вектору нормали .

2.

Каноническое уравнение прямой, т.е. уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀;у₀) параллельно направляющему вектору .

3.

Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁;у₁); М₂(х₂;у₂).

4.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящим через точку М₀(х₀;у₀).

Пусть прямые заданы общими уравнениями:

А₁х+В₁у+С₁=0; А₂х+В₂у+С₂=0

1.

Прямые имеют единственную точку пересечения. Для нахождения координат точки пересечения необходимо решить систему:

2. - прямые параллельны.

3. - прямые совпадают.

4. - прямые перпендикулярны.

Уравнением поверхности в заданной системе координат называется уравнение с тремя переменными F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты точек, лежащих на ней.

Пусть даны три точки в пространстве, не лежащие на одной прямой: М₁(х₁,у₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃).

Рассмотрим векторы:

Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки,будет иметь вид:

Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами (x₀;y₀;z₀) перпендикулярно вектору имеет вид:

Общее уравнение плоскости имеет вид

Пусть даны две плоскости

А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0;

А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0

Для того, чтобы плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их нормальные вектора были коллинеарны, т.е.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Если плоскости пересекаются, то угол между ними определяется соотношением:

Уравнения прямой в пространстве:

1.Каноническое уравнение прямой

2.Уравнение прямой, проходящей через две точки

Угол между прямой и плоскостью.

Пусть плоскость задана уравнением , вектор нормали которой , и задана прямая с направляющим вектором :

Тогда

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали и направляющий вектор были коллинеарны, т.е.

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость задана уравнением и дана точка М₀(x₀;у₀;z₀), от которой нужно найти расстояние до плоскости. Тогда необходимо воспользоваться формулой: