Теоретический курс

Вектор - упорядоченная пара точек А и В, где А называется началом вектора, а В – концом, т.е. вектор - это направленный отрезок, поскольку порядок на множестве концов создает определенное направление.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается .

Длина вектора вычисляется по формулам:

, где А(х₁;у₁); В (х₂;у₂)

или

, где а(х;у)

Векторы называются коллинеарными, если их линии действия параллельны.

Координатами вектора называются числа

х=х₂-х₁ и у=у₂-у₁ , если А(х₁;у₁); В (х₂;у₂)

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Три вектора, расположенные в пространстве, называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

Чтобы найти координаты середины отрезка (вектора), необходимо соответственные координаты сложить и разделить на два.

Например:

A(x₁;y₁) C(x;y) B(x₂;y₂)

Суммой векторов и называется вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Данное правило называется правилом треугольника.

Чтобы найти координаты суммы векторов, необходимо соответствующие координаты сложить:

Произведением вектора на число n называется вектор, коллинеарный вектору и имеющий длину, равную , направление которого совпадает с направлением вектора , если n >0, и противоположно направлению вектора , если n <0.

Чтобы найти координаты вектора, умноженного на число, необходимо соответственные координаты умножить на это число:

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Угол между векторами и вычисляется по формуле:

где

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответственных координат

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом , для которого выполняются условия:

1.Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.

2.Вектор перпендикулярен плоскости векторов

3. Упорядоченная тройка векторов - правая

Пусть - векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе , тогда разложение векторного произведения в том же базисе имеет вид:

Пусть , тогда

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число (векторное произведение , скалярно умноженное на вектор ).

Пусть в правом прямоугольном базисе заданы векторы . Смешанное произведение этих векторов вычисляется по формуле:

;

т.е. смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат данных векторов.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

С помощью смешанного произведения можно найти объем пирамиды. Необходимо знать координаты вершин пирамиды.

Пусть , тогда находим координаты векторов и подставляем в формулу: