Метод Гаусса. Целью метода Гаусса является приведение матрицы системы к треугольному виду, используя элементарные преобразования:

Целью метода Гаусса является приведение матрицы системы к треугольному виду, используя элементарные преобразования:

1.Умножение некоторого уравнения на число, не равное нулю.

2.Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.

3.Перестановка местами двух уравнений системы.

Суть метода состоит в следующем.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Запишем расширенную матрицу системы

Пусть а₁₁ ≠ 0, в противном случае всегда можно принять за первое уравнение то, в котором коэффициент при х_i отличен от нуля и перенумеровать неизвестные.

1.Исключим элементы a_i1, i= 2,…m, умножением первой строки на выражение (- a_i1/ a₁₁), i= 2,…m и прибавлением ее к последующим строкам. Здесь возможны случаи

а) получилась строка расширенной матрицы С⁽¹⁾, у которой все элементы a_ij⁽¹⁾, i= 2,…m, j= 2,…n равны нулю, а хотя бы один соответствующий элемент b_i⁽¹⁾ ≠0. Тогда исходная система несовместима.

б) только первая строка матрицы С⁽¹⁾ ненулевая. Тогда исходная система состоит из одного уравнения. Если в этом уравнении все коэффициенты, за исключением a₁₁ равны нулю, то исходная система имеет единственное решение. В противном случае система неопределённая.

в) среди коэффициентов a_i1⁽¹⁾ существует хотя бы один отличный от нуля. Тогда следует перейти к очередному шагу.

2. Пусть a₂₂⁽¹⁾ ≠0. В матрице С⁽¹⁾ исключим элемент a_i2, i=3,…m. Получим матрицу вида

Здесь возможны случаи а, б, в. Если имеет место третий случай, то следует перейти к следующему шагу и т.д.

Необходимо привести матрицу к виду:

Из этой матрицы легко найдём единственное решение, осущесвляя «обратный ход».

Из последнего уравнения имеем:

Подставляем значение х_n в предыдущее уравнение и находим х_n-1 и т.д.