Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел

«Мастерство продюсера кино и телевидения»

Список учебно-лабораторного оборудования:

- кабинет, располагающий компьютерной техникой, учебно-методической литературой, архивом дипломных и курсовых работ;

- просмотровые залы (DVD и кинопроекция);

- Учебная киностудия ВГИКа.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 074301 ПРОДЮСЕРСТВО и профилю подготовки «Продюсер кино и телевидения», педагог.

Автор: к.э.н., профессор В. И. Сидоренко

Рецензент(ы) __________________________________________________

Программа одобрена на заседании _________________________________

_______________________________________________________________

(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)

от___________ года, протокол №_________.

Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA Ù cÎB}, A\ B = {c: cÎA Ù сÏB}

U - универсальное множество (фиксированное)

U³A; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность; AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U

2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’; (AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’

"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1: " nÎN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а₁₁, а₁₂, а₁₃,...}

А2={а₂₁, а₂₂, а₂₃,...}

А3={а₃₁, а₃₂, а₃₃,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а₁₁ - 1; а₂₁ - 2; а₁₂ - 3; а₃₁ - 4; а₂₂ - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно