Упражнения. № 1. Какие из следующих выражений являются предикатами:

№ 1. Какие из следующих выражений являются предикатами:

а) х делится на три (х пробегает множество натуральных чисел);

б) у = х² (х пробегает множество действительных чисел);

в) х² + х + 1 = 0 (х пробегает множество действительных чисел);

г) x²+2x+1 (х пробегает множество действительных чисел);

д) х есть мать у (х и у пробегают множество всех людей);

е) х и у (х и у пробегают множество всех людей).

№2. Пусть х, у, z пробегают множество действительных чисел. От какого числа переменных зависят следующие предикаты:

а) х² + у² = z²;

б) для всякого х найдется такой у, что х + у = 1;

в) существует z, такое, что для всякого х имеет место неравенство

х + у<z.

№3. Даны два предиката:
Ф₁(х): х есть собака;

Ф₂(х): х обладает хорошим обонянием (х пробегает мно­жество всех живых существ).

Прочесть символическое выражение ("х)(Ф₁(х) ÞФ₂(х))

№4. В следующих высказываниях выделить входящие в них предикаты и записать эти высказывания с помощью символики исчисления предикатов:

а) снег белый;

б) я живу в городе Саратове;

в) 2<3;

г) 2·2 = 4;

д) некоторые змеи ядовиты.

№5. Предикаты P₁ и Р₂ заданы на N высказывательными фор­мами «х — простое число» и «х — четное число». Найдите множест­во истинности предиката Р, заданного конъюнкцией этих высказы­вательных форм.

№6. Задайте множество значений переменной так, чтобы на этом множестве данные высказывательные формы были равносильны: а) «х кратно 3»; «х кратно 5»; б) «у — четное число»; «у — простое число»; в) x³—1 = 0; х²+2х-3=0; г) «z —ромб»; «диагонали в z взаимно перпендикулярны».

№7. Определите, равносильны ли на множестве М следующие высказывательные формы: а) , х≠2, М=R; б) , х£2; М=R; в) , х<2; М=R; г) , х£2; М=R; д) «»,«у— составное число»; M=N; е) «», «у — нечетное число»; M=N;

ж) «», « — нечетная функция»; М — множество всевозможных числовых функций число­вого аргумента; з) хÎ{ }, хÎ{1; 6; 7}; М={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

№8. Следующие высказывательные формы замените равносиль­ными им дизъюнкциями:

а) |х + 3| > 3; б) (х — 5)/(х— 1) > 0; в) х² — 5х + 6 = 0;

г) х² + у²≠ 0.

№9 Как записать символически равносильность двух уравнений

f₁ (х, у) = 0 и f₂ (x, у) = 0?

№10. Записать с помощью логической символики, что си­стема уравнений: f₁(х, у) = 0 и f₂ (x, у) = 0 несовместна (не имеет решений).

№11. Записать с помощью логической символики высказывания:

а) существует точно одно х, такое, что Ф(х);

б) существует по крайней мере два х, таких, что Ф(х);

в) существует не более двух х, таких, что Ф(х).

№12. Записать с помощью логической символики высказывания:

1. Для всех х, удовлетворяющих условию Ф₁ (x), имеет ме­сто Ф₂ (х).

2. Существует х, удовлетворяющий условию Ф₁ (x)и та­кой, что имеет место Ф₂(х).

№13. Определите, следует ли одна высказывательная форма из другой, если M=R:

а) |х]<3; х²—Зх+2=0; б) х⁴=16; х²=-2; в) х²+х-6=0; (х— 1)(х— 2)(х—3) = 0; г) х— 1>0; (х— 2) (х— 5) =0; д) sinx=2; х² + 5=0; е) х²+5х—6>0; х+1 = 1+х.