 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Виды теорем и их взаимосвязь
|
|
1. Понятие теоремы.
Рассмотрим с точки зрения введённых во второй и третьей главах понятие теоремы. Большинство теорем, встречающихся в школьном курсе математики, представляют собой высказывания в виде
"х А(х)ÞВ(х), хÎU. (1)
Ограничимся строением таких теорем. Возьмём, например, теорему: «Во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы». Здесь на самом деле рассматриваются два предиката
А(Δ)={в ΔАВС стороны АВ и ВС равны}и В(Δ)={в ΔАВС угол А равен углу С}, заданных на множестве всех треугольников.
Теорема утверждает, что для любого треугольника из истинности А(Δ) следует истинность В(Δ), а это как раз можно записать кратко " Δ А(Δ)ÞВ(Δ).
В формулировке каждой теоремы, имеющей структуру (1), будем различать:
1.Условие теоремы – предикат А(х).
2.Заключение теоремы – предикат В(х).
3. Разъяснительную часть теоремы – описание элементов множества U, на котором заданы предикаты А(х) и В(х) вместе с указанием на то, что импликации А(х)ÞВ(х) истинна для всех его элементов.
Нередко при формулировке теорем опускается разъяснительная часть. Например, теорема о диагоналях ромба формулируется так: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны». При этом, конечно, подразумевается, что утверждение теоремы относится к каждому ромбу. Из-за краткости формулировки теоремы о диагоналях ромба может показаться, что эта теорема не имеет формы (1). На самом деле это не так. Точная формулировка этой теоремы такова (напомним, что ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны):
Пусть Р – множество параллелограммов и пусть А(р)={Параллелограмм р – ромб} и В(р)={диагонали параллелограмма р взаимно перпендикулярны} – два предиката, заданных на множестве Р. Тогда "р А(р)ÞВ(р), т.е. для любого параллелограмма верно утверждение, если он – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
2. Обратные теоремы.
Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать обратное ей предложение «если В, то А». Однако не для всякой теоремы предложение, ей обратное, также является теоремой. Пусть, например, даны такие две теоремы: «Если два квадрата равны, то их площади равны»; «Если два прямоугольника равны, то их площади равны». Предложение «Если площади двух квадратов равны, то эти квадраты равны», обратное первой из данных теорем, является теоремой. Предложение «Если площади двух прямоугольников равны, то они равны», обратное второй из данных теорем, теоремой не является.
Эти примеры свидетельствуют о неравносильности предложений вида А(х)ÞВ(х) и В(х)ÞА(х). В неравносильности предложений такого вида можно также убедиться, сравнив таблицы истинности формул АÞВ и ВÞА:
| А | В | АÞВ | ВÞА |
| и | и | и | и |
| и | л | л | и |
| л | и | и | л |
| л | л | и | и |
Поскольку два последних столбца в таблице не одинаковы, эквиваленция этих формул не является тавтологией, т. е. они не равносильны. Более того, из таблицы видно, что одновременно с истинностью предложения вида «если А, то В », предложение вида «если В, то А» может быть как истинным, так и ложным.
Таким образом, если доказана истинность какого-либо предложения, то независимо от этого обратное ему предложение требует доказательства или опровержения.
3. Противоположные теоремы.
Для всякой теоремы, сформулированной в виде импликации АÞВ, можно составить противоположное предложение 
. Предложение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, но может ею и не быть. В этом легко убедиться, сравнив таблицы истинности формул АÞВ и ; в том случае, когда предложение вида АÞВ истинно, предложение . может быть как истинным, так и ложным. Следовательно, предложение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь нуждается в доказательстве или опровержении.
Если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то при составлении предложения, противоположного этой теореме, нужно учитывать соответствующий закон де Моргана. Иногда конъюнкция или дизъюнкция в формулировке теоремы присутствует неявно, «замаскировано». Поэтому, чтобы правильно сформулировать предложение, противоположное данной теореме, нужно сначала тщательно проанализировать ее формулировку и выявить подразумеваемые конъюнкции или дизъюнкции (если таковые имеются). Например, в заключении теоремы «Если треугольник ABC равнобедренный, то два его угла равны» скрыта дизъюнкция: ÐA=ÐB, или ÐB=ÐC, или ÐA=ÐC. Отрицание этой дизъюнкции дает конъюнкцию ÐA≠ÐB, или ÐB≠ÐC, или ÐA≠ÐC, что короче можно выразить так: «Никакие два угла треугольника ABC не равны».
4. Закон контрапозиции.
Нам осталось рассмотреть соотношение между обратно-противоположными предложениями, т. е. предложениями вида АÞВ и 
. Имеет место следующая равносильность:
АÞВ = - закон контрапозиции.
Согласно закону контрапозиции: 1) два предложения вида АÞВ и одновременно истинны, либо одновременно ложны; 2) предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также является теоремой; 3) вместо данной теоремы можно доказывать обратно-противоположную ей теорему.
Пусть, например, требуется доказать утверждение «Если m2 нечетно, то m нечетно». Сформулируем и докажем обратно-противоположную теорему: «Если m четно, то m2 четно»; действительно, если m четно, то m=2р {р — натуральное число), откуда m2=4р2=2·(2р2) =2q, т. е. m2 четно. Предположение, обратно-противоположное данному, доказано; следовательно, доказано и данное утверждение.
Если в равносильность АÞВ = подставить В вместо А и А вместо В, то получим ВÞА= . Из этой равносильности следует, что: 1) предложение, обратное данному, и предложение, противоположное данному, одновременно истинны либо одновременно ложны; 2) из двух предложений — обратного данной теореме и ей противоположного— достаточно доказать или опровергнуть какое-нибудь одно; тем самым будет доказано или соответственно опровергнуто и второе.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 2792 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
