![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Введённые пять логических операций дают возможность, исходя из первоначального набора элементарных высказываний, построить некоторое количество сложных высказываний. Истинность или ложность сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности составляющих его высказываний можно установить, построив таблицу истинности сложного высказывания, последовательно используя таблицы истинности логических операций.
Пример. Составить таблицу истинности для высказывания .
Истина и ложь могут распределяться между двумя высказываниями четырьмя различными способами, следовательно, таблица истинности состоит из четырёх строк:
А | В | ![]() | ![]() |
Третий столбец заполняется по первому на основании таблицы истинности для отрицания, последний – по второму и третьему, с использованием таблицы истинности для дизъюнкции.
Сравнивая полученную таблицу истинности для высказывания
с таблицей истинности для импликации, видно, что высказывания
и
имеют одинаковые таблицы истинности. Такие высказывания называются равносильными. Равносильные высказывания принято соединять знаком равенства:
=
.
Употребление знака равенства для соединения равносильных высказываний совершенно естественно.
Действительно, сложные высказывания и
имеют различную форму: из элементарных высказываний А и В они строятся с помощью различных логичных операций. Но для логики высказываний существенно только одно: будет ли при определённом распределении значений истины и лжи для элементарных высказываний составленное из них сложное высказывание истинным или ложным. В этом смысле высказывания
и
«одинаковы»: если высказываниям А и В приписаны какие-т значения истины или лжи, то высказывания
и
будут либо оба истинны, либо оба ложны.
Пример. Составить таблицу истинности для высказывания
.
Истина и ложь могут распределяться между двумя высказываниями четырьмя различными способами, следовательно, таблица истинности состоит из четырёх строк:
А | В | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Третий столбец заполняется по первым двум на основании таблицы истинности для импликации, четвёртый и пятый – по второму и первому столбцу на основании таблицы истинности для отрицания. Шестой столбец составляется по четвертому и пятому с помощью таблицы истинности для импликации, и, наконец, последний седьмой столбец выписывается по третьему и шестому согласно таблице истинности для эквиваленции.
Из таблицы видно, что высказывание истинно всегда, т.е. при любом наборе значений истины и лжи для составляющих его высказываний А и В. Такие высказывания называются тождественно истинными или тавтологией и обозначаются латинской буквой I. Поэтому для приведённого в примере высказывания можно записть:
.
Наряду с тождественно истинными высказывания рассматриваются тождественно ложные, т.е. ложные всегда, независимо от того, истины или ложны составляющие их высказывания. Тождественно ложные высказывания обозначаются латинской буквой L.
Тождественно истинные и тождественно ложные высказывания играют большую роль в процессе логических заключений. Иногда их называют законами логики. Например, легко проверяемое равенство выражает так называемый закон исключения третьего: всякое высказывание либо истинно, либо ложно, третьего не дано. Тождественно ложное высказывание
выражает закон противоречия, согласно которому никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Равносильность
(или
) выражает закон отрицания отрицания. Этот закон утверждает, что отрицание отрицания совпадает с исходным высказыванием.
Приведем основные законы логики высказываний:
1. Коммутативность дизъюнкции
.
2. Коммутативность конъюнкции
.
3. Ассоциативность дизъюнкции
.
4. Ассоциативность конъюнкции
.
5. Законы дистрибутивности
,
.
6. Законы де Моргана
,
.
7. Законы идемпотентности
,
.
8. Законы, включающие тождественно истинные (I) и тождественно ложные (L) высказывания
,
,
,
.
9. Закон замены операции импликации
.
10. Законы замены операции эквивалентности
,
,
.
Пример 1. Доказать равносильность:
.
Используя законы де Моргана, можно записать
.
В силу закона отрицания отрицания, полученное высказывание равносильно следующему .
Теперь, используя закон дистрибутивности и ассоциативности дизъюнкции, можно преобразовать полученное выражение
Согласно закону противоречия, выражение является тождественно ложным,
.
Применение закона 10, даёт доказательство равносильности
.
Пример 2. Упростить высказывание
Так как ,
,
, то предложенное высказывание равносильно дизъюнкции ложных высказываний, т. е. является тождественно ложным
.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 929 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!