Сложные высказывания

Введённые пять логических операций дают возможность, исходя из первоначального набора элементарных высказываний, построить некоторое количество сложных высказываний. Истинность или ложность сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности составляющих его высказываний можно установить, построив таблицу истинности сложного высказывания, последовательно используя таблицы истинности логических операций.

Пример. Составить таблицу истинности для высказывания .

Истина и ложь могут распределяться между двумя высказываниями четырьмя различными способами, следовательно, таблица истинности состоит из четырёх строк:

А	В

Третий столбец заполняется по первому на основании таблицы истинности для отрицания, последний – по второму и третьему, с использованием таблицы истинности для дизъюнкции.

Сравнивая полученную таблицу истинности для высказывания
с таблицей истинности для импликации, видно, что высказывания
и имеют одинаковые таблицы истинности. Такие высказывания называются равносильными. Равносильные высказывания принято соединять знаком равенства: = .

Употребление знака равенства для соединения равносильных высказываний совершенно естественно.

Действительно, сложные высказывания и имеют различную форму: из элементарных высказываний А и В они строятся с помощью различных логичных операций. Но для логики высказываний существенно только одно: будет ли при определённом распределении значений истины и лжи для элементарных высказываний составленное из них сложное высказывание истинным или ложным. В этом смысле высказывания и «одинаковы»: если высказываниям А и В приписаны какие-т значения истины или лжи, то высказывания и будут либо оба истинны, либо оба ложны.

Пример. Составить таблицу истинности для высказывания

.

Истина и ложь могут распределяться между двумя высказываниями четырьмя различными способами, следовательно, таблица истинности состоит из четырёх строк:

А	В

Третий столбец заполняется по первым двум на основании таблицы истинности для импликации, четвёртый и пятый – по второму и первому столбцу на основании таблицы истинности для отрицания. Шестой столбец составляется по четвертому и пятому с помощью таблицы истинности для импликации, и, наконец, последний седьмой столбец выписывается по третьему и шестому согласно таблице истинности для эквиваленции.

Из таблицы видно, что высказывание истинно всегда, т.е. при любом наборе значений истины и лжи для составляющих его высказываний А и В. Такие высказывания называются тождественно истинными или тавтологией и обозначаются латинской буквой I. Поэтому для приведённого в примере высказывания можно записть:

.

Наряду с тождественно истинными высказывания рассматриваются тождественно ложные, т.е. ложные всегда, независимо от того, истины или ложны составляющие их высказывания. Тождественно ложные высказывания обозначаются латинской буквой L.

Тождественно истинные и тождественно ложные высказывания играют большую роль в процессе логических заключений. Иногда их называют законами логики. Например, легко проверяемое равенство выражает так называемый закон исключения третьего: всякое высказывание либо истинно, либо ложно, третьего не дано. Тождественно ложное высказывание выражает закон противоречия, согласно которому никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Равносильность (или ) выражает закон отрицания отрицания. Этот закон утверждает, что отрицание отрицания совпадает с исходным высказыванием.

Приведем основные законы логики высказываний:

1. Коммутативность дизъюнкции

.

2. Коммутативность конъюнкции

.

3. Ассоциативность дизъюнкции

.

4. Ассоциативность конъюнкции

.

5. Законы дистрибутивности

, .

6. Законы де Моргана

, .

7. Законы идемпотентности

, .

8. Законы, включающие тождественно истинные (I) и тождественно ложные (L) высказывания

, , , .

9. Закон замены операции импликации

.

10. Законы замены операции эквивалентности

, ,

.

Пример 1. Доказать равносильность:

.

Используя законы де Моргана, можно записать

.

В силу закона отрицания отрицания, полученное высказывание равносильно следующему .

Теперь, используя закон дистрибутивности и ассоциативности дизъюнкции, можно преобразовать полученное выражение

Согласно закону противоречия, выражение является тождественно ложным, .

Применение закона 10, даёт доказательство равносильности

.

Пример 2. Упростить высказывание

Так как , , , то предложенное высказывание равносильно дизъюнкции ложных высказываний, т. е. является тождественно ложным

.