Метод математической индукции

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений типа

("nÎN) А(n),

т.е. предложения, выражающие некоторое свойство А, присущее любому натуральному числу n.

Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе:

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n=1.

2. Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

Пример:

.

Доказательство.

Проверим, работает ли эта формула при n = 1:

.

Предположим, что тождество верно при n = k, то есть

Проверим это тождество при n = k +1, то есть нужно доказать, что

.