Логические операции над предикатами

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: “истина” (1) и “ложь” (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний.

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

Определение 5.

Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый (сложный) предикат , который принимает значение “истина” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов P(x): “x – четное число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией является предикат “x – четное число и x кратно трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

Определение 6.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. .

Определение 7.

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат или , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “истина”.

Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству I_P.

Определение 8.

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно P(x) принимает значение “истина”, а Q(x) – значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .

Определение 9.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.

Для его множества истинности имеем:

Пример 1. Решить неравенство х² – 8х+15>0.

1. .

2.

Ответ: (-¥, 3)È(5, +¥).

Этот пример наглядно показывает, что дизъюнкция предикатов соответствует операции объединения множеств истинности этих предикатов.

Пример 2. .

Таким образом, конъюнкция предикатов соответствует операции пересечения множеств.

Говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката P(x), если импликация P(x) Þ Q(x) обращается в истинный предикат при любых наборах значений входящих в него переменных.

При этом множества истинности P(x) и Q(x) таковы, что I_рÌI_Q.

Пример 3. Из равенства х=0 следует равенство х(х—1)=0.

Из равенства (х—1)х=0 не следует равенство х=0, так как при х=1 первое равенство верно, а вто­рое — неверно.

Из равенства х(х—1)=0 следует неравенство х> -1, так как корни 0 и 1 уравнения являются реше­ниями неравенства.

Из неравенства |х|<0 следует любой предикат, так как это неравенство не выполня­ется ни при каком значении переменной, и поэтому предикат |х|<0ÞР(х) является истинным при любых значениях входящих в него переменных.

Из формы «х — сын у и z» следует форма « у и z — родители х », но из формы «у и z—родители х » не следует форма «х — сын у и z», так как существует на­бор значений переменных (дочь, отец, мать), при кото­рых форма «у и z — родители х » становится истинным высказыванием, а форма « х — сын у и z » — ложным высказыванием.

Пример 4. Для эквивалентности предикатов P(x) Û Q(x) их множества истинности должны совпадать, т.е. I_р=I_Q (возможно, что оба множества будут пустыми). Например, 4х-2=6 Ûх-2=0 или Û х+1=х.