Средняя квадратическая ошибка функции вида

Y = F (x ₁, x ₂, …, x_n) (1.13)

вычисляется по формуле

, (1.14)

где x_i – результаты непосредственных измерений независимых величин;

m_i - средние квадратические ошибки этих измерений.

На основании формулы (1.14) получены следующие средние квадратические ошибки:

средняя квадратическая ошибка линейной функции вида

Y = ± k ₁ x ₁± k ₂ x ₂ ±... ± k_nx_n, (1.15)

где k_i – постоянные коэффициенты;

x_i – измеренные величины со средними квадратическими ошибками m_i,

. (1.16)

При k ₁ = k ₂ =... = k_n = 1

. (1.17)

Если принять m ₁ = m ₂ =... = m_n = m, то

, (1.18)

т.е. средняя квадратическая ошибка суммы равноточно измеренных величин в больше ошибки одного измерения.

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического из результатов равноточных измерений

. (1.19)

Средняя квадратическая ошибка функции вида

(1.20)

определится с помощью натуральных логарифмов [ 2 ]:

. (1.21)

Применяя формулу (1.14), получим

. (1.22)

Задача 1.2. В треугольнике измерены два угла со средними квадратическими ошибками m ₁ = 5,0² и m ₂ = 3,0². Найти среднюю квадратическую ошибку третьего угла, вычисленного по двум измеренным.

Решение. Так как значение третьего угла треугольника определяется

,

и измерения являются равноточными, то, согласно формуле (1.17), ошибка третьего угла вычисляется

.

Подставляя численные значения, получим

.

Ответ: m ₃ = 5,8².

Задача 1.3. Найти среднюю квадратическую ошибку m_h определения превышения по нивелирному ходу длиной 2,5 км, если среднее расстояние от нивелира до рейки составляло 50 м, а ошибка измерения превышения на станции равна m = 1,0 мм.

Решение. Используя формулу (1.18), получим

,

где m – средняя квадратическая ошибка определения превышения на станции;

n – число станций, которое в нашем случае определится

,

L – длина хода, м;

l – длина визирного луча.

После подстановки числовых значений имеем

.

Ответ: m_h = 5,0 мм.

Задача 1.4. Средняя квадратическая ошибка измерения угла m = 30². Определить число измерений, необходимое для получения результата со средней квадратической ошибкой М = 10².

Решение. Согласно формуле (1.19), имеем

,

откуда получим

.

Ответ: n = 9 раз.

Задача 1.5. В треугольнике измерена сторона b = 418,42 ±0,18 м и углы, прилежащие к ней: А = 46^о 14,4¢±0,70¢ и С = 52^о 11,46±0,70¢. Определить противолежащую углу А сторону и ее среднюю квадратическую ошибку.

Решение. Для определения стороны а воспользуемся теоремой синусов

.

Сначала вычислим величину угла В по двум измеренным

В = 180^о – (А + С) = 81^о 34,0¢.

Средняя квадратическая ошибка вычисленного угла В

.

Далее получим сторону а:

.

Для определения средней квадратической ошибки стороны а воспользуемся натуральными логарифмами

.

Применяя формулу (1.14), получим

.

Подстановка исходных данных в полученную формулу приводит к следующему результату:

.

Ответ: а = 305,48 м; m_a = 0,15 м.