![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Определитель обратной матрицы A- 1 равен обратной величине определителя матицы A: det(A- 1) = 1/ detA
2. Обратная матрица произведения двух матриц равна произведению их обратных матриц: (A × B) - 1 = B- 1× A- 1
3. При перестановке операций транспонирования и нахождения обратной матрицы результат не изменяется: (A- 1) T = (AT)-1.
Буква T означает операция транспонирования – операция замены строк столбцами и наоборот. В частности, при транспонировании вектор-столбец превращается в вектор-строку.
§ 1.5. Векторы
Понятие вектора
Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).
Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.
Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой
(в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так и
обозначают длины соответствующих векторов.
Вектор единичной длины называют ортом.
К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).
Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.
Векторы называются компланарными, если они лежат, либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.
Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что
.
Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).
Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:
1. (рефлексивность).
2. Из того, что , следует
(симметричность).
3. Из того, что и
, следует
(транзитивность).
Операции над векторами
Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора
, а конец – в конце вектора
, при условии, что вектор
приложен к концу вектора
.
В соответствии с определением слагаемые и
и их сумма
образуют треугольник (рис.3). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».
Операция сложения векторов обладает свойствами:
1. (коммутативность);
2. , (ассоциативность);
3. для любого вектора
(особая роль нулевого вектора);
4. для каждого вектора существует противоположный ему вектор
такой, что
(для получения
достаточно поменять местами начало и конец вектора
).
Вектор противоположный вектору обозначают
.
Определение: Разностью векторов
и
называется сумма вектора
и вектора противоположного вектору
, т.е.
.
Разность получается из вектора
сдвигом его начала в конец вектора
, при условии, что векторы
и
имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что
для любого вектора
.
Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и
прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм. Суммой
будет вектор
, расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью
здесь будет вектор
, расположенный на второй диагонали.
Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.
Определение: Произведением вектора
на вещественное число λ (скаляр) называется вектор
, такой, что 1)
; 2) вектор
коллинеарен вектору
; 3) векторы
и
имеют одинаковое (противоположное) направление, если λ > 0 (λ < 0).
Замечание: В случае, когда λ = 0 или произведение
является нулевым вектором.
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
1. (ассоциативное свойство сомножителей);
Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину . Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением
, если λ и μ одного знака, и противоположно направлению
, если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.
2. (свойства дистрибутивности).
Построим треугольник OAB где и
. Построим далее треугольник SPQ, где
и
. Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что
и
одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что
. Но
и
, а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.
Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы и
направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е.
. Но
и следовательно, в этом случае векторы
и
равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора
, если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее
. Но
. Следовательно, и в этом случае длина вектора
равна длине вектора
. Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как
. Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор
или оба скаляра одновременно.
Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору
, то существует вещественное число λ такое, что
= λ
.
Дата публикования: 2014-12-30; Прочитано: 346 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!