Совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размерности m ´ n

þ Обозначения: Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C; элементы матрицы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a_ij, i = 1,2,… m; j = 1,2, …n, где i показывает номер строки, j - номер столбца матрицы. Другими словами элемент матрицы a_ij - это элемент, находящийся на пересечении i –ой строки и j –ого столбца матрицы.

Общий вид прямоугольной матрицы записывается как

.

Матрица называется квадратной матрицей порядка n, если число строк m равно числу столбцов n.

При m = 1 матрица содержит одну строку и называется вектором-строкой. При n = 1 матрица содержит один столбец и называется вектором-столбцом. Элементы вектора называются также компонентами или координатами вектора.

Если все элементы прямоугольной матрицы нули (a_ij = 0), то матрица называется нулевой матрицей и обозначается буквой 0.

Если в квадратной матрице элементы главной диагонали равны единице (a_ii = 1), а все остальные элементы – нули (a_ij = 0, i¹j), то матрица называется единичной матрицей и обозначается как E.

Матрицы A и B равны, если равны все соответствующие элементы этих матриц a_ij = b_ij.

§1.2 Операции над матрицами

1. Сумма двух матриц. При сложении двух матриц A и B получается матрица C = A + B, элементы которой определяются как сумму соответствующих элементов этих матриц: c_ij = a_ij + b_ij. Из этого правила следует, что можно сложить только матрицы одинаковой размерности или одинакового порядка.

2. Умножение матрицы на действительное число. При умножении матрицы A на действительное число k получается матрица B = kA, элементы которой определяются умножением всех элементов матрицы B на это число: b_ij = ka_ij.

3. Умножение двух матриц. При умножении матриц A и B получается матрица C = A×B, элементы которой определяются по правилу ; элемент i -й строки и j -го столбца матрицы C равен сумме произведений i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрицы A и B квадратные матрицы n –го порядка, то имеет смысл как произведение матриц A×B, так и произведение матриц B×A, причем полученные матрицы тоже n –го порядка. При этом в общем случае A×B ¹ B×A, т.е. произведение матриц не коммутативно.

@ Задача 1. Найти сумму матриц и .

Решение: При сложении двух матриц суммируются все соответствующие элементы этих матриц:

.

@ Задача 2. Найти произведение числа 4 и матрицы .

Решение: При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число:

.

@ Задача 3. Найти произведение матриц и .

Решение: Элементы матрицы A×B определяются сложением произведений элементов первой строки матрицы А с соответствующими элементами первого столбца матрицы В, произведений элементов первой строки матрицы А с соответствующими элементами второго столбца матрицы В и т.д.:

.

@ Задача 4. Найти произведение матриц и .

Решение: Элементы полученной матрицы представляют собой суммы произведений элементов строк матрицы А с элементами единственного столбца матрицы В:

.