Свойства определителей

1. Если какой-то ряд состоит из одних нулей, то определитель равен 0.

2. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

3. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

6. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей, с соответствующими слагаемыми этой суммы.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

8. Определитель равен сумме произведений элементам некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Например, определитель третьего порядка равен:

detA = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ = a₁₁m₁₁ – a₁₂m₁₂ + a₁₃m₁₃. (3)

@ Задача 3. Найти .

Решение: Определитель найдем, применяя формулу (3):

Ранг матрицы

Наибольший порядок отличных от нуля детерминантов (миноров) прямоугольной матрицы m ´ n, называется рангом матрицы r, причем r £ min(m, n). Для квадратной матрицы ранг r £ n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

@ Задача 4. Найти ранг матрицы размерности 3´4.

Решение: Ранг матрицы r £ min(3, 4) = 3. Все детерминанты третьего порядка равны нулю, так как две их строки (вторая и третья) одинаковые (отличаются на постоянный множитель). Отличны от нуля только детерминанты второго порядка, поэтому r = 2.

§ 1.4. Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: detA ¹ 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица A^{- 1} называется обратной матрице А, если выполняется условие

A^{- 1} A = AA^{- 1} = E.

Только у невырожденных квадратных матриц есть обратные матрицы.

Обратная матрица вычисляется по формуле (detA ¹ 0):

.

Для матрицы A второго порядка обратная матрица равна:

.

@ Задача 1. Найти A^{- 1}, если .

Решение: 1. Находим определитель матрицы:

.

2. Находим обратную матрицу:

.

@ Задача 2. Найти A^{- 1}, если .

Решение: 1. Находим определитель матрицы:

.

2. Вычисляем алгебраические дополнения: , , , , , , , , .

3. Находим обратную матрицу:

.