Понятие базиса. Разложение вектора по базису

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат.

Изобразим вектор a так, чтобы он выходил из начала координат:

Z

a_Z

a A

k

O j a_Y Y

i

a_X B

X

Определение: Базисом для прямоугольной системы координат называют

тройку векторов i, j, k,

Теорема (Разложение вектора по базису):

Любой вектор в пространстве, который имеет координаты a(a_X,a_Y,a_Z) может быть разложен по базису следующим образом:

a = a_X * i + a_Y * j + a_Z * k

Доказательство:

OA = OB + OA_Z - (см.рис). Из основания параллелепипеда можно

получить, что вектор OB = OA_X + OA_Y откуда: OA = OA_X + OA_Y + OA_Z

Рассмотрим векторы:

OA_X ïï i - коллинеарен, т.е. OA_X = a_X * i

OA_Y ïï j, тогда OA_Y = a_Y * j

OA_Z ïï k, тогда OA_Z = a_Z * k,

т.о. a = a_X * i + a_Y * j + a_Z * k, что и требовалось доказать.