Теоремы о проекции вектора на ось

Теорема 1: Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и числовой осью.

Пр_lAB = AB * cosj, Ðj = Ð(AB, l)

Доказательство: рассмотрим 2 случая:

1) B A₁B₁ l, cosj = AC / AB

A j C

l AC = AB *cosj,

A₁ B₁ A₁B₁ = AB * cosj

Пр_lAB = AB * cosj

Что и требовалось доказать.

2) B j A₁B₁ l

C

A l AC = AB * cos (180⁰ - j)

B₁ A₁

A₁B₁ = - AB * cos j

- A₁B₁ = AB * cos j, т.о. Пр_lAB = AB * cosj

Что и требовалось доказать.

Теорема 2: Проекция вектора на числовую ось равна разности координат начала и конца вектора.

A(X_A,Y_A,Z_A), B(X_B,Y_B,Z_B), Пр_XAB = X_B - X_A, Пр_YAB = Y_B - Y_A Пр_ZAB = Z_B - Z_A,

Доказательство:

A₁B₁ = OA₁ + OB₁, OA₁ = X_A; OB₁ = - X_B

B

C A₁B₁ = X_A – X_B, - A₁B₁ = X_B – X_A

A l

B₁ О A₁ Пр_XAB = X_B - X_A

Что и требовалось доказать.

Теорема 3: Проекция суммы двух векторов на числовую ось равна сумме проекций этих векторов на данную ось.

Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b

Доказательство:

A2 Поскольку длина A₁^’ A₃^’ = A₁^’ A₃^’ + A₁^’ A₃^’ ,

a b

A3 то Пр_l A₁A₃ = Пр_l A₁A₂ + Пр_l A₂A₃,

A1

a + b l то есть Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b,

A₁^’ A₂^’ A₃^’

что и требовалось доказать.

Теорема4: При умножении вектора на число его проекция также умножается на это число (отличное от нуля):

Пр_l (l* a) = l* Пр_l a

Доказательство:

l* a (l>0)

Ðj = Ð(a, l)

a

j l Ðj₁ = Ð(l* a, l), если l <0

j₁

l* a (l<0)

1) l>0, Пр_l (l* a) = l* a * cosj = l * a * cosj = l* a *cosj =

= l* Пр_l a

2) l<0, Пр_l (l* a) = l* a *cos(180⁰-j)= - l*a * cosj = - l * a *cosj =

= l* Пр_l a,

что и требовалось доказать.

Если в пространстве задан вектор a, то для него вводят координаты (a_x, a_y, a_z), a_x = Пр_x a, a_y = Пр_y a, a_z = Пр_z a.

Следствия из теорем:

1) a = (a_x, a_y, a_z),

b = (b_x, b_y, b_z), a ± b = (a_x ±b_x, a_y ±b_y, a_z ±b_z)

2) l* a = (l*a_x, l*a_y, l*a_z)

3) Условие коллинеарности векторов:

a ôô b = a_x / b_x = a_y / b_y = a_z / b_z