Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости

Если две плоскости заданы общими уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, то угол j между плоскостями равен углу между нормальными векторами (A ₁, B ₁, C ₁) и (A ₂, B ₂, C ₂), следовательно,

.

Если две прямые заданы каноническими уравнениями и , то угол j между прямыми равен углу между направляющими векторами (m ₁, n ₁, p ₁) и (m ₂, n ₂, p ₂), следовательно,

.

Если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а прямая задана каноническими уравнениями , то угол j между прямой и плоскостью равен дополнительному углу к углу между нормальным вектором (A, B, C) и направляющим вектором (m, n, p), следовательно,

.

В последнем случае:

- плоскость и прямая параллельны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормального и направляющего векторов равно нулю:

Am + Bn + Cp = 0.

- плоскость и прямая перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальный и направляющий векторы коллинеарны:

.