Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Определение 1. Уравнение с тремя переменными Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C не равны 0 одновременно, называется общим уравнением плоскости.

Основные виды уравнений плоскости в трехмерном пространстве:

1) z = 0 - уравнение плоскости O xy;

2) y = 0 - уравнение плоскости O xz;

3) x = 0 - уравнение плоскости O yz;

4) Cz + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной плоскости O xy;

5) By + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной плоскости O xz;

6) Ax + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной плоскости O yz;

7) Ax + By + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси координат O x;

8) Ax + Cz + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси координат O y;

9) Ax + By + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси координат O z;

10) Ax + By + Cz = 0 - уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

Теорема 1. Любая плоскость в трехмерном пространстве может быть задана общим уравнением.

Определение 2. Вектор (A, B, C) называется общим нормальным вектором плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Если две плоскости заданы общими уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, то:

- плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны: ;

- плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю: A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ + C ₁ C ₂ = 0.

A (x-x ₀) + B (y-y ₀) + C (z-z ₀) = 0 - уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀, y ₀, z ₀), перпендикулярно нормальному вектору.

Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве

Существует несколько способов задания прямой в трехмерном пространстве:

1) - прямая как линия пересечения двух плоскостей задается аналитически системой двух линейных уравнений;

2) - канонические уравнения прямой, где (m, n, p) – направляющий вектор прямой (т.е. прямая параллельна этому вектору), M ₁(x ₁, y ₁, z ₁) – некоторая точка, лежащая на данной прямой.

Если две прямые заданы каноническими уравнениями и , то:

- прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны: ;

- прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: m ₁ m ₂ + n ₁ n ₂ + p ₁ p ₂ = 0;