Ранг квадратичной формы

Определение 1. Квадратичной формой L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных x _i× x _j, взятых с некоторым действительным коэффициентом a _ij, (причем a _ij = a _ji):

.

Определение 2. Матрицей квадратичной формы L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется матрица, составленная из коэффициентов a _ij:

.

Отметим, что в силу условия a _ij = a _ji, она является симметрической.

Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных.

Определение 3. Матричной записью квадратичной формы L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется запись L = X¢AX, где X =(x ₁, x ₂, …, x _n)¢ - матрица столбец переменных.

Следовательно, .

Определение 2. Рангом квадратичной формы L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется ранг матрицы квадратичной формы.