Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Определение 1. Уравнение с двумя переменными Ax + By + C = 0, где A и B не равны 0 одновременно, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Теорема 1. Любая прямая на плоскости может быть задана общим уравнением.

Если В¹0, то , т.е. y = кх+b. При этом:

а) если А=0, то y = b;

б) если А=0 и С=0, то y =0;

в) если С=0, то y = кх.

Если В=0 и А¹0, то , т.е. х = а - если С¹0 и х =0 - если С=0.

Теорема доказана.

Точка пересечения двух прямых A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0есть решение системы линейных уравнений

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y = к ₁ х+b ₁ и y = к ₂ х+b ₂, т.е. k ₁=tga₁ и k ₂=tga₂, где a₁ и a₂ - углы наклона прямых к оси О х.

Рассмотрим угол j=a₂-a₁ - угол между данными прямыми. Тогда, по формуле тангенса разности, , т.е. .

Если прямые параллельны, то j = 0, tgj = 0.

Итак, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k ₁= k ₂.

Если прямые перпендикулярны, то j = p/2, ctgj = 0.

Итак, условием перпендикулярности двух прямых является равенство k ₁× k ₂ =-1.

Замечание. Можно показать, что если две прямые заданы общими уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0, то:

условие параллельности прямых: ;

условие перпендикулярности прямых: A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.