Билинейные формы и их матрицы. Квадратичная форма

Def. Говорят, что в линейном пространстве задана линейная функция (линейная форма), если поставлено в соответствие число такое что:

1) (11.1)

2) (11.2)

Найдем выражение линейной функции в координатах. Пусть - базис

Согласно (11.1) и (11.2) имеем:

где

Таким образом, линейная функция представляется линейной формой:

(11.3)

Любая билинейная функция представляется билинейной формой:

где (11.5)

Def. Матрица где называется матрицей билинейной формы.

Рассмотрим как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису.

Пусть в базисе билинейная форма имеет вид где И пусть новый базис, в котором где В базисе матрица билинейной формы а в базисе матрица билинейной формы Пусть матрица перехода от базиса к базису

Обозначим Тогда Тогда

(11.6)

Это равенство в матричной форме имеет вид

, (11.7)

где матрица перехода от базиса к базису

Def. Билинейная форма называется симметрической, если

В этом случае т.е. матрица билинейной формы будетсимметрической. Верно и обратное. Если матрица некоторой билинейной формы симметрическая, то и билинейная форма симметрическая.

Def. Если в симметрической билинейной форме положить то получим квадратичную форму В этом случае билинейная форма называется полярной к

Очевидно, что матрица квадратичной формы всегда симметрическая.

Th. 11.1

По квадратичной форме однозначно определяется породившая ее билинейная форма.

Доказательство.

Пусть

Отсюда

(11.8)

Нахождение билинейной формы полярной к заданой квадратичной форме называется поляризацией квадратичной формы.

Из (11.5) следует, что любая квадратичная форма в заданном базисе задается формулой:

где (11.9)