Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема Пифагора

С помощью операций и , введенных в линейном пространстве, можно ввести понятие прямой, плоскости, размерности, параллельности прямых (плоскостей) и т.д. Однако, этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание евклидовой геометрии. Например, мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами и т.д. Ввести эти понятия попытаемся через определение скалярного произведения векторов.

Def. Скалярным произведением в линейном пространстве над полем называется функция двух векторных аргументов принимающая значения из (обозначается ) для которой выполняются следующие аксиомы:

1.

2.

3.

4. Причем тогда и только тогда, когда

Def. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством.