Неравенство Коши-Буняковского

Мы определили что Покажем, что такое определение корректно. Для этого докажем, что , т.е. Или

(5.5)

Неравенство (5.5) носит название неравенства Коши-Буняковского.

Доказательство.

Рассмотрим вектор где Согласно аксиоме 4 скалярного произведения векторов

Преобразуем выражение, стоящее в левой части неравенства, на основании аксиом 1-3 скалярного произведения:

Значит, для квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства,

Отсюда вытекает неравенство (5.5).

В частности для евклидова пространства направленных отрезков это неравенство очевидно.

Для пространства непрерывных на функций неравенство
Коши-Буняковского принимает вид