Линейные операторы, их матрицы и простейшие свойства

Def. Пусть линейное пространство над полем Пусть задана функция называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:

1) (свойство аддитивности оператора);

2) (свойство однородности оператора).

Обозначают или

Линейный оператор полностью задается заданием образов базисных векторов. Выберем в пространстве базис и применим к каждому из них оператор Полученные образы разложим по базису

(7.1)

Def. Матрица столбцы которой – координаты образов базисных векторов называется матрицей линейного оператора в базисе

Th. 7.1

Пусть вектор в базисе Тогда (7.2) где матрица линейного оператора в базисе

Доказательство.

Пусть тогда

.