Методичні поради. Спочатку слід повторити шкільний матеріал про прямокутну систему координат на площині, а також вивчити полярну систему координат та зв’язок між прямокутними

Спочатку слід повторити шкільний матеріал про прямокутну систему координат на площині, а також вивчити полярну систему координат та зв’язок між прямокутними та полярними координатами.

Далі розглядаються перетворення прямокутної системи координат: паралельне перенесення та поворот.

Слід ознайомитися з основними застосуваннями методу координат на площині: знаходження відстані між двома точками, ділення відрізка в даному відношенні та обчислення площі трикутника.

Важливо зрозуміти, що лінійне рівняння з двома змінними Ax + By + C = 0задає на координатній площині пряму. Таке рівняння називається загальним. Якщо C = 0, то пряма проходить через початок координат. Коефіцієнти A і B – це координати нормального вектора , який перпендикулярний даній прямій. Якщо A = 0, то це горизонтальна пряма, а якщо B = 0, то – вертикальна.

Для побудови прямої за даним рівнянням потрібно визначити дві її точки. Найкраще для цього підходять точки перетину прямої з осями координат (a; 0) і (0; b), тоді можна записати рівняння прямої у відрізках .

Типовою задачею є складання рівняння прямої. Якщо відомі координати двох її точок і , то можна записати рівняння .

Якщо відомі координати лише однієї точки прямої, застосовують рівняння в'язки прямих, що проходять через цю точку. Форма рівняння залежить від способу завдання напряму прямої. Якщо відомий кутовий коефіцієнт прямої k, то користуються рівнянням , а якщо напрямний вектор , то канонічним рівнянням або параметричними рівняннями . Якщо відомий нормальний вектор , то застосовують рівняння .

Особливу увагу слід звернути на знаходження рівнянь прямих, які паралельні або перпендикулярні даній прямій. Якщо відоме рівняння паралельної прямої, то можна використати її кутовий коефіцієнт або напрямний вектор. Якщо відоме рівняння перпендикулярної прямої, її напрямний вектор буде нормальним вектором даної прямої або навпаки. Можна також використати умову перпендикулярності через кутові коефіцієнти: .

Якщо прямі не паралельні, то кут між ними дорівнює куту між їх напрямними або нормальними векторами, який знаходять через скалярний добуток, або можна знайти кут через кутові коефіцієнти прямих за формулою .

Відстань точки від прямої, яка задана загальним рівнянням , обчислюють за формулою . Відстань між паралельними прямими Ax + By + C₁ = 0 і Ax + By + C₂ = 0 можна знайти за формулою .

Лінії на площині, які задаються алгебраїчними рівняннями другого степеня, можна одержати, якщо перетнути конус площиною. Тому вони називаються конічними перерізами. Це кола, еліпси, гіперболи і параболи.

Рівняння

визначає коло з центром і радіусом .

Рівняння

визначає еліпс з центром і осями, що паралельні осям координат (додаткові відомості).

Рівняння

визначає гіперболу з центром і осями, що паралельні осям координат (додаткові відомості).

Рівняння

і

визначають параболи з вершиною і віссю симетрії, що паралельна одній з осей координат (додаткові відомості).

Дослідження загального рівняння другого степеня показує, що після паралельного перенесення і повороту осей координат, це рівняння (за виключенням вироджених випадків) визначає один з конічних перерізів.