Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность

Пусть дана система векторов (1) , , …, из векторного пространства V над полем Р.

Определение 1. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов (1) называется базисом этой системы.

Теорема. Если система (2) , , …, — базис системы векторов (1), то любой вектор системы векторов (1) является линейной комбинацией системы векторов (2), причем такое представление (разложение по базису) единственно.

Доказательство. Пусть — некоторый вектор из системы векторов (1). Если принадлежит базису (2), то = для некоторого iÎ{ }. Тогда = 0 + … + 1 + … + 0 — разложение вектора по базису (2). Если не принадлежит базису (2), то рассмотрим систему векторов

(3) , , …, , .

По определению базиса, система векторов (3) является линейно зависимой. Это означает, что существуют скаляры a₁, a₂,..., a _r, a _{r +1} принадлежащие полю Р и не равные нулю одновременно такие, что выполняется равенство (4) a₁ + a₂ + … + a _r + a _{r +1} = . Допустим, что a _{r +1}=0. Тогда a _{r +1} = и a₁ + a₂ + … + a _r + a _{r +1} = , причём скаляры a₁, a₂,..., a _r не равны нулю одновременно. Это означает, что система векторов (2) линейно зависима. Получили противоречие с определением базиса. Поэтому a _{r +1}¹0. Выразим вектор из равенства (4). Получим

= - - - … - ,

то есть вектор является линейной комбинацией базисных векторов (2).

Покажем, что такое представление единственно. Допустим, что существуют два представления вектора в виде линейной комбинации базисных векторов (2):

(5) = a₁ + a₂ + … + a _r и (6) = b₁ + b₂ + … + b _r .

Вычтем из равенства (5) равенство (6). Получим (7) = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂) + … + (a _r - b_r) . Поскольку система векторов (2) линейно независима, то из равенства (7) следует, что все скаляры a_i-b_i равны нулю, i= . Это означает, что a_i=b_i для всех i= и представления (5) и (6) совпадают. Таким образом, существует единственное представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов. Теорема доказана.

Определение 2. Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов , , …, называется разложением вектора по базису , , …, : = a₁ + a₂ + … + a _r .

Кортеж (a₁, a₂, …, a_r) называется координатной вектор-строкой вектора в базисе (2). Коэффициенты a₁, a₂, …, a _r разложения вектора по базису (2) называются координатами вектора в базисе (2).

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.