Формулы Крамера

Теорема 1. Пусть(1) - система n линейныхуравнений с n неизвестными над полем P, А= - основнаяматрица системы(1), = . Если ,то система(1) имеетединственное решение: , , …, ,где - определитель,полученный из заменой i- гостолбца на столбец свободных членов, i= ,т.е. = , …, = .

Доказательство. Пусть Х = , В = . Тогда система (1) равносильна матричному уравнению АХ=В (2).

Следовательно, чтобы решить систему (1), достаточно решить уравнение (2). Так как 0, то существует А^-1 и уравнение (2) имеет единственное решение X=A^-1B =

Теорема доказана.

Замечание. Если = 0, то возможны 2 случая:

1. Если = 0, i = , то система (1) имеет бесконечное число решений

2. Если , то система (1) не имеет решений.