Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности

Определение. Пусть V₁ и V₂ — векторные пространства над одним и тем же полем P. Говорят, что V₁ изоморфно V₂ (обозначается V₁ @ V₂), если существует взаимно-однозначное отображение j пространства V₁ на V₂ такое, что выполняются следующие условия:

1) j( + ) = j() + j() для любых и из V₁;

2) j(a ) = aj() и для любых Î V₁ и aÎР.

Теорема. Пусть V — векторное пространство над полем P и dim_PV=n. Тогда V@Pⁿ, гдеPⁿ — арифметическое n-мерное векторное пространство.

Доказательство. Пусть , , …, — базис векторного пространства V над полем P. Тогда для любых и из V существует единственное разложение по базису:

=a₁ + a₂ + … + a _n = и = b₁ + b₂ + … + b _n = .

Зададим соответствие j по правилу j() = (a₁, a₂, …, a_n)для любого = Î V, т.е. каждому вектору из V поставим в соответствие кортеж его координат. В силу единственности разложения вектора по базису, j является отображением V в Pⁿ. Покажем, что j — биекция. Действительно, для любого (g₁, g₂, …, g_n) Î Pⁿ, существует =g₁ + g₂ + … + g _n Î V, такой что j()= (g₁, g₂, …, g_n). Следовательно, j — сюръекция.

Проверим инъективность j. Пусть j()=j(). Тогда по определению j, имеем

(a₁, a₂, …, a_n) = (b₁, b₂, …, b_n). Это равенство возможно только в случае a_i=b_i, для всех i= . Но тогда = , что означает = . Следовательно, j — инъективно. Таким образом, отображение j биективно.

Проверим выполнимость условий 1) и 2) определения изоморфизма векторных пространств.

j( + ) = j( + ) = (коммутативность «+» на V, обобщенный дистрибутивный закон)= j() = (a₁+b₁, a₂+b₂, …, a_n+b_n) = (a₁, a₂, …, a_r) + (b₁, b₂, …, b_n) =j( + ) для любых и из V, т.е. условие 1) выполняется.

Для любого aиз Р и любого Î Vj(a ) = j(a ) = (обобщенный дистрибутивный закон, обобщенная ассоциативность) = j() =(aa₁, aa₂, …, aa_n)= a(a₁, a₂, …, a_n) = aj(), т.е. выполняется условие 2) определения. Значит, j является изоморфизмом векторного пространства V на арифметическое n-мерное векторное пространство Pⁿ, т.е.V@Pⁿ. Теорема доказана.

Следствие. Любые два n-мерных векторных пространства над полем P изоморфны.

Доказательство. Пусть V₁ и V₂ — n-мерные векторные пространства над полем P. Тогда по теореме V₁@Pⁿ и V₂@Pⁿ. Т.к. отношение изоморфизма векторных пространств является отношением эквивалентности, то оно симметрично и транзитивно. Из V₂@Pⁿ следует Pⁿ @ V₂. Из V₁@Pⁿ и Pⁿ @ V₂ получаем V₁@V₂. Следствие доказано.