Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Арифметическое n-мерное векторное пространство

Пусть Р – поле. Элементы a, b,... Î Р будем называть скалярами.

Определение 1. Класс V объектов (элементов) , , ,... произвольной природы называется векторным пространством над полем Р, а элементы класса V называются векторами, если V замкнуто относительно операции «+» и операции умножения на скаляры из Р (т.е. для любых , ÎV + Î V;"aÎ Р a ÎV), и выполняются следующие условия:

А₁: алгебра <V, +> - абелева группа;

А₂: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется a(b )=(ab) - обобщенный ассоциативный закон;

А₃: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется (a+b) = a + b ;

А₄: для любого a из Р, для любых , из V выполняется a( + )=a +a (обобщённые дистрибутивные законы);

А₅: для любого из V выполняется 1 = , где 1 – единица поля Р — свойство унитарности.

Элементы поля Р будем называть скалярами, а элементы множества V — векторами.

Замечание. Умножение вектора на скаляр не является бинарной операцией на множестве V, так как это отображение P´V®V.

Рассмотрим примеры векторных пространств.

Пример 1. Нулевое (нуль-мерное) векторное пространство — пространство V₀={ } — состоящее из одного нуль-вектора.

+ = и для любого aÎР a = . Проверим выполнимость аксиом векторного пространства.

Заметим, что нулевое векторное пространство существенно зависит от поля Р. Так, нульмерные пространства над полем рациональных чисел и над полем действительных чисел считаются различными, хоть и состоят из единственного нуль-вектора.

Пример 2. Поле Р само является векторным пространством над полем Р. Пусть V=P. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства. Так как Р — поле, то Р является аддитивной абелевой группой и А₁ выполняется. В силу выполнимости в Р ассоциативности умножения выполняется А₂. Аксиомы А₃ и А₄ выполняются в силу выполнимости в Р дистрибутивности умножения относительно сложения. Так как в поле Р существует единичный элемент 1, то выполняется свойство унитарности А₅. Таким образом, поле Р является векторным пространством над полем Р.

Пример 3. Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Пусть Р — поле. Рассмотрим множество V= Pⁿ ={(a₁, a₂, …, a_n) ½ a_i Î P, i=1,…, n}. Введём на множестве V операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр по следующим правилам:

" = (a₁, a₂, …, a_n), = (b₁, b₂, …, b_n) Î V, "aÎ P + = (a₁ + b₁, a₂+ b₂, …, a_n+ b_n) (1)

a =(aa₁, aa₂, …, aa_n) (2)

Элементы множества V будем называть n-мерными векторами. Два n-мерных вектора называются равными, если их соответствующие компоненты (координаты) равны. Покажем, что V является векторным пространством над полем Р. Из определения операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр следует, что V замкнуто относительно этих операций. Так как сложение элементов из V сводится к сложению элементов поля Р, а Р является аддитивной абелевой группой, то и V является аддитивной абелевой группой. Причём, = , где 0 — ноль поля Р, - = (-a₁, -a₂, …, -a_n). Таким образом, А₁ выполняется. Так как умножение элемента из V на элемент из Р сводится к умножению элементов поля Р, то:

— А₂ выполняется в силу ассоциативности умножения на Р;

— А₃ и А₄ выполняются в силу дистрибутивности умножения относительно сложения на Р;

— А₅ выполняется, так как 1 Î Р — нейтральный элемент относительно умножения на Р.

Определение 2. Множество V= Pⁿ с операциями, определёнными формулами (1) и (2) называется арифметическим n-мерным векторным пространством над полем Р.