Простейшие свойства векторного пространства

Пусть V — векторное пространство над полем Р. Тогда справедливы следующие свойства.

Свойство 1. Для любого из V 0× = , где 0 — ноль поля Р, — нулевой элемент аддитивной группы V, т. е. ноль-вектор.

Доказательство. 0× = (0 + 0) = А₄ = 0× + 0× , т.е. 0× = 0× + 0× (1)

С другой стороны 0× = 0× + (2)

Из (1) и (2) 0× + = 0× + 0× . В илу закона сокращения в аддитивной группе V, получим 0× = . Свойство доказано.

Свойство 2. Для любого a из Р a× = .

Доказательство. a× =a×( + )= А₃ = a× + a× (3)

a× = a× + (4)

Из (3) и (4) a× + = a× + a× . Проводя левостороннее сокращение, из последнего равенства получим a× = . Свойство доказано.

Свойство 3. Если a = (5), то либо a=0 либо = .

Доказательство. Если a = 0, то требуемое равенство верно. Если a ¹ 0, то существует a^-1 Î Р. Умножим обе части равенства (5) слева на a^-1. Получим a^-1(a ) = a^-1 , откуда, по А₂ и свойству 2,

(a^-1a) = Û 1× = Û (по А₅) = . Свойство доказано.

Свойство 4. Для любого из V выполняется -1× = - .

Доказательство. = (свойство 1)= 0× = (1+(-1)) = А₄ = 1× + (-1)× = А₅ = + (-1)× . Прибавим к обеим частям последнего равенства слева - . Получим (-1)× = - . Свойство доказано.

Следствие 1. Для любого a из Р, для любого из V выполняется (-a) = -a .

Следствие 2. Для любых a и b из Р, для любого из V выполняется (a - b) = a - b .

Свойство 5. Для любого a из Р, для любых , , …, из V выполняется

a( + + … + ) = a + a + … + a .

Свойство 6. Для любых a₁, a₂, …, a_n из Р, для любого из V выполняется

(a₁ + a₂ + … + a_n) = a₁ + a₂ + … + a_n .