Теорема о том, что любые два базиса системы векторов состоят из одного и того же числа векторов. Ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Примеры

Теорема 1. Любые два базиса системы векторов (1) , , …, состоят из одного и того же числа векторов.

Доказательство. Пусть системы (2) , ,…, и (3) , , …, — различные базисы системы векторов (1). Допустим, что r¹s. Возможны два случая: s > r или s < r. Пусть s > r. Т.к. (2) — базис системы векторов (1), то по определению любой вектор системы векторов (1) является линейной комбинацией базисных векторов системы (2), и, в частности, каждый вектор системы (3) является линейной комбинацией векторов системы (2), поскольку система векторов (3) является подсистемой системы векторов (1). Т.к. s > r, то получили, что большая система векторов (3) линейно выражается через меньшую систему векторов (2) и, значит, по свойствам линейно зависимой системы векторов, система (3) является линейно зависимой. Получили противоречие с тем, что система (3) является базисом и, следовательно, линейно независима. Это означает, что s не больше r.

Допустим, что s < r. Проводя аналогичные рассуждения, получим, что большая система векторов (2) является линейной комбинацией меньшей системы векторов (3). Значит, по основной лемме о линейной зависимости, система векторов (2) линейно зависима. Получили противоречие с определением базиса. Таким образом, s не меньше r. Получили, что s = r. Теорема доказана.

Определение 1. Число r векторов в базисе системы векторов (1) называется рангом системы векторов (1) и обозначается r = rang { , , …, } или r = r{ , , …, }.

Определение 2. Векторное пространство V над полем P называется конечномерным векторным пространством, если существует конечная линейно независимая система векторов (1) , , …, из V такая, что каждый вектор из V является линейной комбинацией системы векторов (1). При этом система векторов (1) называется базисом конечномерного векторного пространства V.

Теорема 2. Любые два базиса конечномерного векторного пространства V состоят из одного и того же числа векторов.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 3. Число n векторов в базисе конечномерного векторного пространства V называется размерностью векторного пространства V над полем P и обозначается n = dim_РV. В этом случае V называется n-мерным векторным пространством над полем P и обозначается V_n.

Примеры. 1) ⁿ, ⁿ,ℂⁿ, Pⁿ — примеры классических арифметических n-мерных векторных пространств над полями соответственно , , ℂ и Р.

2) Т_n — множество всех многочленов степени не выше n с коэффициентами из поля Р. Т_n образует (n+1)-мерное векторное пространство над полем Р с базисом 1, х, х², …, хⁿ, т.е.

Т_n= {f(x)=a₀1 + a₁x +…+ a_n хⁿ ½ a_iÎP, i= }.

3) Множество прямоугольных матриц размера m´n с элементами из поля Р образует mn-мерное векторное пространство над полем Р.

4) Множество Т всех многочленов с коэффициентами из поля Р образует бесконечномерное векторное пространство над полем Р с базисом 1, х, х², …, хⁿ, …

В дальнейшем будем рассматривать только конечномерные векторные пространства.

Дополнение линейно независимой системы векторов векторного пространства V до базиса. Подпространство векторного пространства. Критерий подпространства. Пересечение и сумма подпространств.

Лемма 1. Любая линейно независимая система векторов векторного пространства V_n может быть дополнена до базиса пространства V_n.

Доказательство. Пусть , , …, (1) — линейно независимая система векторов n-мерного векторного пространства V_n. Пусть (2) , ,…, — базис пространства V_n. Рассмотрим систему векторов , , …, , , ,…, (3). Система векторов (3) конечная и она содержит максимальную линейно независимую подсистему (2). Следовательно, система векторов (2) является базисом системы векторов (3). Так как любые два базиса системы векторов (3) состоят из одного и того же числа векторов n, то в конечной системе векторов (3) можно построить максимальную линейно независимую подсистему, содержащую систему векторов (1). Тогда она будет состоять из n векторов и, значит, будет являться базисом пространства V.

Определение 4. Пусть Н – непустое подмножество векторного пространства V над полем Р. Н называется подпространством пространства V, если Н само является векторным пространством над полем Р.

Теорема (критерий подпространства). Пусть Н – непустое подмножество пространства V над полем Р. Н является подпространством V тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) Для любых , из Н + Î Н;

2) для любого a из Р и любого из Н выполняется a Î Н.

Доказательство. Необходимость. Пусть Н – подпространство пространства V. Тогда по определению Н является векторным пространством над полем Р и H замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр из поля Р. Следовательно, условия 1) и 2) выполняются.

Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2) теоремы. Т.к. (-1)ÎР, то по условию 2) для любого из Н (-1) = - Î Н. Тогда, по критерию подгруппы, Н является подгруппой аддитивной абелевой группы V, и, следовательно, Н само является аддитивной абелевой группой. Т.к. обобщенные дистрибутивные и ассоциативные законы выполняются в V, то они выполняются и в Н. Кроме того, 1 = для любого из Н. Следовательно, Н удовлетворяет определению векторного пространства над полем Р и, значит, по определению Н является подпространством пространства V.

Определение 2. Пусть V₁, V₂,…, V_s — подпространства векторного пространства V над полем Р. Множество М={ + + …+ ½ Î V_i, i= } называется суммой подпространств V₁, V₂,…, V_s и обозначается М = V₁ + V₂ +…+ V_s.

Лемма 2. Пусть V₁, V₂,…, V_s — подпространства векторного пространства V над полем Р. Тогда

1) Н = V₁ + V₂ +…+ V_s является подпространством пространства V;

2) D = V₁ Ç V₂ Ç…Ç V_s является подпространством пространства V.

Доказательство. 1) Пусть , Î Н. Тогда по определению суммы подпространств

= + + …+ , = + + …+ , где , Î V_i, i= . Найдём сумму

+ = ( + ) + ( + ) +…+ ( + ). Так как + Î V₁, + ÎV₂, …, + ÎV_s, то по определению + Î Н. Значит, Н замкнуто относительно сложения векторов. Далее, для любого a из Р и любого из Н выполняется:

a = a( + + …+ )= a + a + …+ a .

Поскольку a Î V₁, a Î V₂, …, a Î V_s, то по определению a Î Н и Н замкнуто относительно умножения на скаляры из поля Р. По критерию подпространства, Н является подпространством пространства V.

2) Доказательство проводится аналогично.